2.5.7. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ВЫБОРКИ

Пусть — выборка из наблюдений пары случайных переменных которые имеют совместное двумерное нормальное распределение с коэффициентом корреляции @[см. II, раздел 13.4.6]. Коэффициент корреляции выборки определяется как

где

Рис. 2.5.3. Функция плотности выборочного коэффициента корреляции для нормальных распределений с а) ; б)

Выборочное распределение коэффициента корреляции выборки имеет п.р.в. в точке заданную в виде

где

Выборочное ожидание имеет вид [см. раздел 1.4]

(относительно О см. раздел 1.4), а выборочная дисперсия —

Функция плотности вероятностей унимодальна [см. II, раздел 10.1.3] (для На рис. 2.5.3 представлены некоторые типичные случаи.

Преобразование Фишера. Выборочные распределения коэффициента корреляции выборки считаются слишком сложными, чтобы ими пользоваться для практических целей (за исключением случая, когда Вместо них применяется следующее преобразование, найденное Р. Фишером. Пусть

Тогда выборочное распределение близко к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией [см. пример 5.2.2].

Когда это аппроксимирующее выборочное распределение становится нормальным с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Когда то точное выборочное распределение переменной сводится к

где

Отсюда получаем, что выборочное распределение величины

является распределением Стьюдента с [см. также раздел 2.7.5 и пример 5.2.1]. В дальнейшем обозначает гамма-функцию [см. IV, раздел 10.2].

Дополнительную информацию по этому вопросу можно найти в книге [Fisher (1970), т. VI — С].