9.8. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ПЛАН

Когда мы сталкиваемся с обработками, которые можно прилагать к экспериментальным единицам одновременно и возможны несколько уровней воздействия, «полным» планом называют блоки, каждый из которых включает любую комбинацию уровней обработок. Такой план называют планом «полного перебора» или «полным факторным» планом. Например, для двух удобрений А и В эксперимент с полным перебором где А варьирует на двух уровнях на трех уровнях содержит всего комбинаций и его можно представить в виде

При третьем факторе С на двух уровнях получится комбинаций которые имеют вид:

9.8.1. ГЛАВНЫЕ ЭФФЕКТЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ: ДВА ФАКТОРА НА ДВУХ УРОВНЯХ

Рассмотрим сначала план , который представляет собой план для двух факторов А и В на двух уровнях: «нижнем» и «верхнем» (На практике «нижний» уровень фактора А может означать полное отсутствие обработки А, аналогично и для В.) Наиболее простой метод для анализа состоит в следующем. Уровни обработки и соответствующие им отклики кодируются так:

Этими данными можно воспользоваться (временно пренебрегая ошибками опыта) для построения некоторой обусловленной функции вида , например

Более реалистично, не пренебрегая ошибкой эксперимента, для подбора искомой функции применить какую-нибудь сглаживающую процедуру, вроде метода наименьших квадратов. Полученное уравнение в дальнейшем может быть использовано для построения линий равного отклика этой поверхности.

Методы такого рода обычны в современной практике. Например, в прикладной химии они предназначены для локализации максимума поверхности отклика. Это особенно удобно, когда можно относительно быстро проводить новые опыты с различными комбинациями уровней факторов, что позволяет работать с помощью методов «влезания на гору» для приближения к максимуму (эволюционное планирование, и когда контуры линий равного отклика в окрестностях

максимума хорошо описываются эллипсами с одинаковыми фокусами. Однако долгое время этот подход не считался особенно продуктивным. В качестве первой цели такого эксперимента выдвигалось общее (эффективное) описание поверхности отклика, а не отыскание ее максимума. С учетом представлений о главных эффектах и взаимодействиях развитый метод можно непосредственно обобщить на любое число факторов и любое число уровней. Так, в плане (два фактора на двух уровнях) эффект (или главный эффект) А пропорционален разности между:

1) средним по всем откликам из комбинаций обработок, включающих верхний уровень А, и

2) средним по всем откликам из комбинаций обработок, включающих нижний уровень А.

Главный эффект В определяется аналогично.

Взаимодействие между А и В пропорционально разности между:

1) эффектом увеличения А при В, зафиксированном на верхнем уровне, и

2) эффектом увеличения А при В, зафиксированном на нижнем уровне. (В последнем определении буквы А и В, конечно же, можно было бы поменять местами.) Таким образом, взаимодействие — это мера неаддитивности эффектов А и В относительно отклика. Например, увеличение концентрации углерода в стали без вольфрама может определенным образом повлиять на прочность, но этот эффект может оказаться совершенно другим после того, как в сплав будет введено определенное количество вольфрама [ср. с разделом 11.3.5].

Обозначение не вполне подходит к такому взгляду на вещи. Удобна и широко распространена следующая система обозначений:

Здесь а указывает, что фактор А находится на верхнем уровне, — что фактор В находится на верхнем уровне, — что оба фактора на верхнем уровне, тогда как обозначение (1), не содержащее ни , ни указывает на то, что оба фактора на нижних уровнях. Не возникнет никаких неоднозначностей, если мы воспользуемся теми же обозначениями не только для комбинаций уровней факторов, но и для соответствующих им откликов. Тогда главный эффект фактора А будет пропорционален

Заметим, что это выражение можно было бы получить, раскрыв скобки в

имея в виду, что обозначение 1 надо читать как (1), т. е. как обозначение отклика, полученного при обоих факторах на нижних уровнях. Аналогично главный эффект В пропорционален

(с той же оговоркой относительно (1)), и взаимодействие А и В пропорционально

или, что эквивалентно,

Помня о принятом ранее соглашении относительно 1 и (1), получим, что оба эти выражения можно представить в виде

Когда в блоке присутствует по одному представителю от каждой из четырех комбинаций обработок (1), a, b, ab, за неимением информации о вариабельности данных для четырех откликов можно выразить результаты в аналогичной, но интуитивно кажущейся более информативной форме, а именно в виде статистик, включающих: 1) три меры эффектов обработок — два главных эффекта и взаимодействие и 2) «эффект блока», измеряемый общим средним данного блока. При обычном предположении об аддитивности влияния всех откликов внутри блока равноценны (аддитивны). Значит, эффекты обработок, оцениваемые внутри блока, не оказывают влияния на эффект блока.

В жизни, конечно, нельзя игнорировать вариабельность откликов. Допустим, что есть всего к блоков, каждый из которых содержит (в случайном порядке) все четыре комбинации обработок. Тогда главные эффекты и эффект взаимодействия можно оценить, усредняя по всем блокам соответствующие статистики, полученные в каждом блоке. А средние по к индивидуальным блокам можно использовать для оценки эффектов блоков. Следовательно, из отдельных наблюдений величин могут служить для оценивания, что оставляет наблюдений для получения оценки вариабельности, на которой можно построить проверку значимости оцененных эффектов.