4.4. ИСТОЛКОВАНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА КАК МЕРЫ ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА

Надо отметить, что доверительный интервал для параметра распределения, найденный исходя из данной выборки, определяется выбором «рабочей статистики» Если эта статистика является достаточной (как в примере 4.3.1), то, несомненно, вся информация, содержащаяся в выборке, будет извлечена. Но как выйти из положения, если простой достаточной статистики не существует? На интуитивном уровне очевидно, что необходимо использовать наилучшую из доступных статистик, например эффективную [см. определение 3.3.3] статистику, такую, как оценка наибольшего правдоподобия [см. разделы 3.5.4, 6.2.2]. Это, однако, приводит к некоторой неопределенности, и она возрастает, если по соображениям удобства берут другую подходящую статистику.

В обычной статистической практике выбор рабочей статистики определяется на самом деле соображениями удобства, традициями, доступностью соответствующих таблиц и т. д. Р. Фишер, вероятно, меньше доверял бы выводам, полученным таким путем, чем выводам, основанным на точных вероятностных соотношениях с использованием достаточной статистики. Однако практикующие статистики не склонны к большим беспокойствам по подобным поводам. Существует мнение, что коэффициент доверия данного интервала для параметра в следует рассматривать как число, которое получилось бы при многократном повторении процедуры выборки и вычисления по ней доверительного интервала с использованием данной рабочей статистики.

Для интерпретации доверительного интервала более важными являются такие факторы, как объем выборки и значение коэффициента доверия. В примере 4.2.1, где рассматривались доверительные интервалы для математического ожидания нормального распределения, было установлено, что симметричный 95%-ный доверительный интервал есть интервал длина которого Для уровня доверия 0,99 соответствующий интервал его длина равна Это подтверждает известный факт: за повышение значения уровня доверия приходится расплачиваться увеличением длины доверительного интервала. С другой стороны, точнее оценку можно получить по выборке большего объема. Длина доверительного интервала с фиксированным уровнем доверия будет убывать с увеличением объема выборки. В данном случае длина доверительного интервала пропорциональна

Рассмотренный пример не типичен: не всегда длина доверительного интервала зависит только от объема выборки и коэффициента доверия. Вообще говоря, она зависит также от используемой статистики. Так, в примере 4.3.1 100%-ный доверительный интервал для математического ожидания в экспоненциального распределения, определенный по выборке объема и выборочному среднему х в качестве

рабочей статистики, был получен с использованием по ходу дела вероятностного интервала

где доверительные пределы определяются при помощи распределения степенями свободы из условия

(Уравнение (4.3.6) выражает этот результат для случая, когда ) Таким образом, доверительные пределы для есть , а ожидаемая длина доверительного интервала Значения коэффициента при приведены в следующей таблице:

(Предшествующее обсуждение основано на сложившейся практике. Следует, однако, признать, что хотя практика и заставляет нас совершенствоваться, она сама не всегда совершенна и не всегда вполне оправданна. Измерять степень соответствия оценки параметру длиной доверительного интервала имеет смысл, когда — параметр расположения и, следовательно, плотность распределения выборочной случайной величины имеет вид Замена значения параметра на сдвигает график плотности на расстояние Если же не является параметром положения, может оказаться разумным использовать иные способы оценки точности. Например, если — параметр масштаба и плотность распределения имеет вид замена значения на эквивалентна умножению аргумента на Это подсказывает, что в качестве меры точности вывода о параметре представленной доверительным интервалом правильнее использовать отношение , а не длину этого доверительного интервала.)