2.5.3. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
а) Линейные функции независимых нормальных переменных. Пусть
где 
— независимые нормальные величины с параметрами 
Тогда 
где
(см. II, раздел 11.4.5).
Как следствие центральной предельной теоремы [см. II, раздел 11.4.2] получаем, что 
будет приближенно 
даже в случае, когда сами величины 
не подчиняются нормальному распределению.
Наиболее важное применение результат (2.5.7) находит, когда все 
Тогда
б) Выборочное распределение среднего значения выборки. В частном случае, для которого справедлив последний результат, укажем распределение арифметического среднего X величин 
Если
то распределение 
Этот важный результат дает нам выборочное распределение среднего значения х выборки из 
наблюдений над нормальной случайной переменной X с параметрами 
Ввиду важности среднего выборки в теории оценивания повторим замечание, которое следует за выражением (2.5.7) и касается приближения к нормальности. Оно сводится к тому, что распределение 
приближенно 
независимо (в широких пределах) от вида действительного распределения X [см. II, раздел 17.3].
в) Линейная функция коррелированных нормальных переменных. Предположим, что 
имеют совместное многомерное нормальное распределение [см. II, раздел 13.4], для которого 
. Тогда
, где
Здесь 
— матрица ковариаций случайных величин 
[см. I, гл. 5 и 6].
г) Несколько линейных функций коррелированных переменных. Предположим, что 
имеют совместное многомерное нормальное распределение, как и в разделе 2.5.3, в). Получим следующий основной результат для линейных функций. Пусть
где матрица коэффициентов 
невырожденная [см. I, определение 6.4.2]. Тогда 
имеют многомерное нормальное распределение с
и матрицей ковариаций [см. II, определение 9.6.3], заданной в виде
где А — транспонированная [см. I, раздел 6.5] матрица 
матрица ковариаций 
с элементами
при 
для всех 
и 
для любого 
Если вместо того, чтобы рассматривать все множество 
линейно независимых линейных функций от 
взять только подмножество 
линейно независимых линейных функций, то это подмножество будет по-прежнему распределено по многомерному (
-мерному) нормальному закону с математическими ожиданиями вида (2.5.11). Его матрица ковариаций будет ведущей подматрицей размерности 
[см. I, раздел 6.13] матрицы 
из (2.5.12)
д) Независимые линейные функции коррелированных нормальных переменных. Пусть 
подчиняются многомерному нормальному закону как в разделе 2.5.3, в) и пусть их ковариационная матрица V представлена в виде
где 
— невырожденная матрица [см. I, определение 6.4.2].
Пусть матрица А из раздела 2.5.3, г) теперь имеет вид
[см. I, раздел 6.4]. Тогда 
определенные с помощью линейного преобразования (2.5.11), в совокупности подчиняются многомерному нормальному закону с матрицей ковариаций
где I — единичная матрица [см. I, раздел 6.2]. Отсюда следует, что в этом случае 
— взаимно независимые стандартные нормальные переменные.
е) Независимые линейные функции независимых одинаково распределенных нормальных переменных. Результат при независимых 
можно извлечь из пунктов в), г), д) раздела 2.5.3, взяв в качестве V диагональную матрицу [см. I, раздел 6.7]. Наиболее важен случай, когда 
— одинаково распределенные независимые нормальные величины с общим математическим ожиданием, скажем 
и дисперсией 
так что дисперсионная матрица равна: 
Тогда, если линейные преобразования 
определяются в соответствии с (2.5.10), где матрица А — ортогональная, то ковариационная матрица переменных 
примет вид 
, таким образом, 
остаются взаимно независимыми стандартными нормальными переменными.
Вообще, если строки матрицы А взаимно ортогональны [см. I, раздел 10.2], но не обязательно ортонормальны, т. е. произведение 
— диагональная матрица [см. I, раздел 6.7]
то 
будут подчиняться многомерному нормальному распределению с матрицей ковариаций
Это означает, что 
— взаимно независимые нормальные переменные с математическими ожиданиями, заданными выражением (2.5.11), и с дисперсиями, заданными в виде
В частности, любые к линейных функций 
независимых, одинаково распределенных переменных 
общее распределение которых будут взаимно независимыми нормальными при условии, что
Тогда 
и т.д. указаны в (2.5.11), а дисперсии задаются выражениями
из формулы (2.5.16) для распределения 
при различных значениях параметра 
числа степеней свободы
