2.5.3. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

а) Линейные функции независимых нормальных переменных. Пусть

где — независимые нормальные величины с параметрами Тогда где

(см. II, раздел 11.4.5).

Как следствие центральной предельной теоремы [см. II, раздел 11.4.2] получаем, что будет приближенно даже в случае, когда сами величины не подчиняются нормальному распределению.

Наиболее важное применение результат (2.5.7) находит, когда все Тогда

б) Выборочное распределение среднего значения выборки. В частном случае, для которого справедлив последний результат, укажем распределение арифметического среднего X величин Если

то распределение Этот важный результат дает нам выборочное распределение среднего значения х выборки из наблюдений над нормальной случайной переменной X с параметрами

Ввиду важности среднего выборки в теории оценивания повторим замечание, которое следует за выражением (2.5.7) и касается приближения к нормальности. Оно сводится к тому, что распределение приближенно независимо (в широких пределах) от вида действительного распределения X [см. II, раздел 17.3].

в) Линейная функция коррелированных нормальных переменных. Предположим, что имеют совместное многомерное нормальное распределение [см. II, раздел 13.4], для которого . Тогда

, где

Здесь — матрица ковариаций случайных величин [см. I, гл. 5 и 6].

г) Несколько линейных функций коррелированных переменных. Предположим, что имеют совместное многомерное нормальное распределение, как и в разделе 2.5.3, в). Получим следующий основной результат для линейных функций. Пусть

где матрица коэффициентов невырожденная [см. I, определение 6.4.2]. Тогда имеют многомерное нормальное распределение с

и матрицей ковариаций [см. II, определение 9.6.3], заданной в виде

где А — транспонированная [см. I, раздел 6.5] матрица матрица ковариаций с элементами

при для всех и для любого

Если вместо того, чтобы рассматривать все множество линейно независимых линейных функций от взять только подмножество линейно независимых линейных функций, то это подмножество будет по-прежнему распределено по многомерному (-мерному) нормальному закону с математическими ожиданиями вида (2.5.11). Его матрица ковариаций будет ведущей подматрицей размерности [см. I, раздел 6.13] матрицы из (2.5.12)

д) Независимые линейные функции коррелированных нормальных переменных. Пусть подчиняются многомерному нормальному закону как в разделе 2.5.3, в) и пусть их ковариационная матрица V представлена в виде

где — невырожденная матрица [см. I, определение 6.4.2].

Пусть матрица А из раздела 2.5.3, г) теперь имеет вид

[см. I, раздел 6.4]. Тогда определенные с помощью линейного преобразования (2.5.11), в совокупности подчиняются многомерному нормальному закону с матрицей ковариаций

где I — единичная матрица [см. I, раздел 6.2]. Отсюда следует, что в этом случае — взаимно независимые стандартные нормальные переменные.

е) Независимые линейные функции независимых одинаково распределенных нормальных переменных. Результат при независимых можно извлечь из пунктов в), г), д) раздела 2.5.3, взяв в качестве V диагональную матрицу [см. I, раздел 6.7]. Наиболее важен случай, когда — одинаково распределенные независимые нормальные величины с общим математическим ожиданием, скажем и дисперсией так что дисперсионная матрица равна: Тогда, если линейные преобразования определяются в соответствии с (2.5.10), где матрица А — ортогональная, то ковариационная матрица переменных примет вид , таким образом, остаются взаимно независимыми стандартными нормальными переменными.

Вообще, если строки матрицы А взаимно ортогональны [см. I, раздел 10.2], но не обязательно ортонормальны, т. е. произведение — диагональная матрица [см. I, раздел 6.7]

то будут подчиняться многомерному нормальному распределению с матрицей ковариаций

Это означает, что — взаимно независимые нормальные переменные с математическими ожиданиями, заданными выражением (2.5.11), и с дисперсиями, заданными в виде

В частности, любые к линейных функций

независимых, одинаково распределенных переменных общее распределение которых будут взаимно независимыми нормальными при условии, что

Тогда и т.д. указаны в (2.5.11), а дисперсии задаются выражениями

Рис. 2.5.1. Функция плотности вероятностей из формулы (2.5.16) для распределения при различных значениях параметра числа степеней свободы