2.7.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ДИСПЕРСИЮ
а) Общая формула. Когда данные возникают из подсчета (например, сколько стерильных образцов?), их выборочное распределение обычно биномиальное или пуассоновское. Трудности анализа связаны не только с тем, что наблюдения дискретны, но и с тем, что выборочная дисперсия зависит от неизвестного параметра. Например, если наблюдаемые доли успехов в двух совокупностях равны
то сравнение соответствующих вероятностей успехов
затрудняет зависимость выборочных дисперсий и
от параметров
(Именно они равны
соответственно.) Ситуация упростится, если будет найдено преобразование, превращающее все биномиальные случайные величины в новые переменные, которые имеют постоянную дисперсию; сказанное относится и к пуассоновским переменным. Преобразования, которые в известной степени ведут к такой идеальной ситуации, можно вывести с помощью (2.7.1). Если X имеет ожидаемое значение 0 и дисперсию
— преобразование X, то
Подбирая
так, чтобы
можно добиться того, что
станет постоянной (приближенно). Это произойдет, если
при этом дисперсия преобразованной переменной
приближенно равна
б) Пуассоновские данные. Преобразования с помощью извлечения квадратного корня. Предположим, что X имеет распределение Пуассона с параметром
так что
Тогда (2.7.4) превращается в
Это приводит к преобразованию х в
Наблюдаемые величины
преобразуются в
преобразованные данные имеют выборочную дисперсию, приближенно равную 1/4.
Точность аппроксимации можно определить путем прямого вычисления
по формулам
Представления о точности аппроксимации дает табл. 2.7.2.
Таблица 2.7.2. Эффект стабилизации дисперсии с помощью преобразования квадратного корня пуассоновской случайной величины
Хотя на первый взгляд это преобразование не кажется особенно полезным в смысле достижения постоянной дисперсии, равной 0,25, на самом деле оно значительно уменьшает изменчивость дисперсии для значений параметра в, которые меньше десяти, и поддерживает ее практически постоянной для больших значений.
Энскомб показал, что еще эффективнее преобразование
В этом случае, например, при
дисперсия равняется 0,2315, что уже совсем близко к нашей цели — значению 0,25 [см. Wetherill (1981), гл. 8 — С].
в) Биномиальные данные. Преобразование арксинуса (или угловое преобразование). Если X следует распределению Бернулли с параметрами
то наблюдения
часто преобразуются в статистику
которая является обычной оценкой параметра
Выборочное распределение
с математическим ожиданием
и дисперией
Соответствующие значения для
Попытаемся найти преобразование
с постоянной выборочной дисперсией. С помощью (2.7.1) получим выражение
у которого член в правой части будет постоянным
если
Это условие удовлетворяется, если принять, что
т.е. если взять
Эквивалентным и более удобным оказывается преобразование
т. е. в
Эта случайная величина имеет выборочную дисперсию, приближенно равную
. Модификация
предложенная Энскомбом, лучге. Приближенная выборочная дисперсия для этой модификации равняется
[см. Wetherill (1981), гл. 8 — С].
г) Стабилизация дисперсии отклика с помощью взвешивания. Если при проведении линейного регрессионного анализа [см. раздел 6.5] выясняется, что рассеяние значений отклика у на графике данных изменяется систематически с изменением переменной х, то дисперсию можно стабилизировать путем простой процедуры взвешивания. Например, если выборочное стандартное отклонение
т.е. отклонение значений у, соответствующих значению х, возрастает пропорционально значению х, то переход от
к взвешенным данным,
будет стабилизировать дисперсию.