3.4.4. ДОСТАТОЧНОСТЬ В СЛУЧАЕ МНОГИХ ПАРАМЕТРОВ

Понятие достаточной статистики, введенное в разделе 3.4.1 для однопараметрического семейства распределений, может быть распространено на случай нескольких параметров. Расширение определения 3.4.1 состоит в следующем.

Определение 3.4.3. Совместная достаточность. Пусть случайные переменные (непрерывные или дискретные) имеют в где — параметры. Статистики совместно достаточны для если для произвольного набора статистик условное совместное распределение при данных не зависит от параметров В и Эта совокупность статистик называется минимальной совместно достаточной, если — минимальное целое число, для которого выполняется сказанное выше.

В частности, совместно достаточны для если условное совместное распределение при данных не зависит от

Как и в однопараметрическом случае, прямое применение теоремы может оказаться трудоемким; обычнр вместо этого легче пользоваться эквивалентной многопараметрической версией критерия факторизации из теоремы 3.4.1. Она состоит в следующем.

Теорема 3.4.3. Критерий факторизации. Пусть

как в определении 3.4.3. Совокупность статистик совместно достаточна для параметров если и только если функция может быть разложена на множители следующего вида:

Пример 3.4.9. Совместная достаточность для параметров . В случае когда — независимые и одинаково нормально распределенные переменные с обычные оценки для и есть скажем). Оказывается, эти оценки совместно достаточны для Чтобы убедиться в этом, представим п.р.в. выборки в следующей форме:

т. е. в форме (3.4.6) с в Следовательно, совместно достаточны для Пользуясь терминологией раздела 3.4.1, мы можем сказать, что вместе содержат всю информацию с содержащуюся в выборке.

Как и в однопараметрическом случае, любая пара алгебраически независимых функций от также является парой совместно достаточных статистик. В примере 3.4.8 эта пара уже обсуждалась, поскольку , по отдельности, несмещенно оценивают соответственно.