Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10.2.3. МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ

К задачам типа а) относится также сравнение заранее выбранных линейных комбинаций параметров (например, групповых средних или разностей между ними), для которых требуется установить

доверительные утверждения . Проблема того же рода возникает и тогда, когда доверительные границы устанавливаются в каждом конкретном случае отдельно, но мы хотим знать общий уровень значимости для них всех, т. е. вероятность того, что все утверждения корректны одновременно. И снова зависимость между ними может затруднить точный ответ на такой вопрос, но мы по крайней мере можем сказать, что

Таким образом, если в каждом случае используется один и тот же доверительный коэффициент верны), мы имеем Р (все верно) Следовательно, мы располагаем нижней границей для требуемой вероятности и можем гарантировать величину доверительной вероятности при выборе . Это известный метод Бонферрони для построения совместных доверительных интервалов, а установленное выше неравенство называется неравенством Бонферрони.

Для иллюстрации этого подхода рассмотрим односторонний план с моделью

Если мы строим -ные доверительные интервалы для каждого группового среднего, т.е. где то какой уровень доверия мы можем иметь для утверждения ? В данном случае мы имеем так что это будет по меньшей мере , и можно положить для получения общего уровня доверия, по меньшей мере равного .

Когда -критерий позволяет отбросить гипотезы относительно равенства эффектов групп, обычно хотят знать, какие группы следует рассматривать как одинаковые, а какие — как разные. Доверительные интервалы для различия между двумя средними, скажем с вероятностью (поскольку дисперсия ) равны

Мы считаем, что два средних различны, если не содержит нуля. Когда все группы имеют одинаковые объемы это просто сводится к сравнениям всех разностей с наименьшей значимой разностью, причем групповые средние признаются значимо различными, когда превосходит Если это выполняется для каждой пары, то для при получается всего интервалов, и мы можем гарантировать общее доверие на уровне по крайней мере при выборе . К сожалению, когда велико, такие интервалы получаются очень широкими и поэтому имеют ограниченное применение. Более того, доверительный коэффициент корректен только в том случае, когда эти интервалы строятся безотносительно к результатам применения -критерия. Если же, что вполне разумно, мы заботимся только о том, чтобы -критерий не отбрасывал Н, то истинный уровень доверия оказывается неизвестным.

Пример 10.2.1. Совместные доверительные интервалы. В следующей таблице приведены результаты измерений предела прочности на разрыв для шести сплавов:

(см. скан)

Вот таблица дисперсионного анализа:

(см. скан)

Отношение средних квадратов равно следовательно, существуют сильные аргументы в пользу значительных различий между прочностями рассматриваемых сплавов. Взяв а в качестве стандартных ошибок средних получим: 0,058, 0,052, 0,058, 0,047, 0,052, 0,058. Отсюда (используя найдем следующие индивидуальные 95%-ные доверительные интервалы для .

Если мы хотим иметь шесть доверительных интервалов с совместной доверительной вероятностью не меньше 95%, то нужно взять и провести повторные вычисления, используя [см. приложение 5]. Тогда требуемые интервалы (каждый из которых остается отдельным, но с доверительным коэффициентом 0,9917) будут такими:

Если же мы рассмотрим интервалы для разностей между всеми парами средних, то окажется, что так что общее доверие потребует выбора и нам придется воспользоваться . В результате доверительные

интервалы довольно заметно расширятся. При сравнении первых двух групп, например, мы получим , а для групп

Иногда заранее ясно, что предстоит рассмотреть заданное подмножество таких сравнений. Это уменьшает , как следствие, сужает интервалы. В нашем примере группа 4 относится к наблюдениям над стандартным сплавом, а остальные пять групп относятся к пяти новым разработкам. Если мы ограничим внимание только сравнениями каждого из новых сплавов со стандартным, то получим а значит для достижения общего доверия, равного 0,95. Тогда получатся следующие интервалы:

Совместная доверительная вероятность для этих интервалов (т. е. вероятность того, что все пять разностей укладываются в интервал типа ) равна 0,95.

Как видно на примере интервала для при ограничении внимания только этими пятью сравнениями мы получаем более узкие интервалы для разностей в отличие от случая, кбгда рассматриваются все пары.

Когда заранее трудно определить, какие сравнения окажутся интересными, полезно иметь подходящие методы для получения интервалов, относящихся к вопросам, возникшим после того, как данные были исследованы. Одним из подходов к решению этой проблемы служит -метод Шеффе [см. Scheffe (1959)].

Мы ввели термин контраст для параметров применительно к любой линейной функции от скажем обладающей тем свойством, что , где с — известные константы.

Так, разность -между средними любых двух групп будет контрастом. Среднее одной группы минус среднее средних всех остальных групп, т.е. — тоже контраст. И вообще, контрастом будет среднее средних некоторого числа групп минус среднее средних некоторых других групп. Можно показать, что гипотеза эквивалентна Н: все возможные контрасты равны нулю. В основном метод Шеффе дает интервалы для всех возможных контрастов при заданном общем доверии. Тогда, какие бы контрасты мы ни выбрали (заранее или после изучения данных), они автоматически окажутся включенными в рассмотрение.

Найдем теперь МНК-оценку для равную

Соответствующая формула что дает Мы оцениваем эту дисперсию из

, где обычная оценка о основанная на , а именно

Шеффе показал, что когда охватывает все возможные контрасты, существует вероятность 1—а того, что все неравенства вида

удовлетворяются одновременно, где получается из — общее число наблюдений Заметим, что сомножитель — это порядок гипотезы

Пусть для любого контраста обозначает гипотезу, что Мы отвергаем на совместном уровне значимости а, если интервал, вычисленный для а именно не включает значения Можно показать, что -критерий отвергает гипотезу Н, если и только если отвергается по меньшей мере одна из гипотез Значит, когда все контрасты фактически равны нулю, существует вероятность а того, что по меньшей мере одна из гипотез будет отвергнута. Мы можем применить эти результаты к любым контрастам и выбрать то, что удалось выявить, что повлекло за собой отбрасывание гипотезы Н. Отметим, что если внимание концентрируется на отдельном контрасте выбранном заранее, а не на пришедшем в голову под влиянием результатов, то выражение (10.2.2) дает обычный -ный доверительный интервал для после замены на 1 в определении Если же мы хотим построить совместные доверительные интервалы для всех линейных комбинаций (т. е. не только контрастов), то нам придется лишь заменить в определении на I.

Пример 10.2.2. S-метод Шеффе. Применим S-метод Шеффе к данным, использованным ранее в примере 10.2.1. Имеем

В соответствии с (10.2.2) получим:

(см. скан)

Оказывается, что группы 1, 5 и 6 относятся к разным сплавам с одной структурой (назовем их сплавами типа 1), а группы 2 и 3 — к разным сплавам с другой структурой (не с той же, что сплавы 1, 5 и 6). Назовем их сплавами типа 2. Все результаты можно суммировать следующим образом. При сравнениях пяти сплавов со стандартом (первые 5 контрастов) создается впечатление, что сплав 2 лучше, чем стандарт, а для всех остальных не выявлено очевидных преимуществ. Но если, например, сплав 1 лучше, чем стандарт, то различие, по-видимому, не превышает величины 0,36. Аналогично и для остальных сплавов, кроме шестого контраста, который показывает, что нет достаточных оснований для заключения, что лучший сплав типа 2 превосходит лучший сплав типа 1, хотя различие между ними и может быть — самое большее в 0,43 единицы разрывной прочности. Интервал для восьмого контраста показывает, что сплавы типа 2 лучше, чем стандарт. Девятый интервал указывает, что нет достаточных оснований для утверждения, что сплавы типа 1 в общем лучше, чем стандарт. Последний контраст сравнивает сплавы типа 1 со сплавами типа 2. Разница в пользу типа 2 могла бы быть самое большее порядка 0,34, так что даже превосходство типа 1 не исключается и нужны дальнейшие исследования. Всеобщая доверительная вероятность для всех этих утверждений (и для любых других контрастов, интервалы которых мы в состоянии вычислить) равна 95%.

Что же касается первых пяти контрастов, то можно было бы получить более короткие их интервалы методом Бонферрони, но за это пришлось бы заплатить невозможностью делать какие бы то ни было заключения относительно любых других контрастов.

Когда все группы имеют одинаковые объемы, можно воспользоваться для получения интервалов для всех контрастов другим методом (предложенным Дж. Тюки). Он основан на стьюдентизированном размахе [см. раздел 2.5.9]. Эти интервалы получаются короче, чем при -методе для контрастов вида но длиннее для других контрастов. Более подробное обсуждение этих вопросов можно найти в работе [Scheffe (1959)].

В общем -метод можно применить к любому набору эффектов в линейной модели для получения совместных доверительных утверждений такого типа, как в (10.2.2). Общая теория изложена Шеффе [см. Scheffd (1959)]. В качестве заключительной иллюстрации рассмотрим сбалансированную перекрестную двустороннюю классификацию:

Если все отвергнута, мы можем воспользоваться -методом для построения контрастов со средними по строкам и найти интервалы вида

где

— оцениваемая дисперсия основанная на

Если же отвергнута все то можно обратиться к контрастам для средних по столбцам используя на этот раз

1
Оглавление
email@scask.ru