2.7. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАТИСТИК. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ДИСПЕРСИЮ. НОРМАЛИЗУЮЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2.7.1. АППРОКСИМАЦИЯ

а) Функции одной случайной переменной. Внутреннее содержание понятия предела в математике состоит в том, что если последовательность сходится к пределу а при то должны стать приближенно равными а для всех достаточно больших значений Асимптотические результаты, описанные в разделе 2.6, которые будут справедливы в строгом смысле только в пределе, когда оказываются приближенно верными для всех достаточно больших конечных значений . К сожалению, нечасто встречаются случаи, когда легко сказать, насколько большими должны быть чтобы они стали «достаточно большими». На практике часто приходится использовать асимптотические результаты (или какие-либо результаты, основанные на них) в качестве приближения, когда всего лишь умеренно большое или даже совсем не велико. Более того, может возникнуть необходимость в аппроксимациях выборочных распределений (или по крайней мере их математических ожиданий и дисперсий) для нелинейных функций от статистик, отличных от среднего значения выборки. Обычно в таких случаях возлагают надежду на грубые приближения к математическому ожиданию и дисперсии подходящей гладкой функции случайной переменной X, которые можно получить из нескольких первых членов (или даже из одного первого члена) разложения функции в ряд Тейлора [см. IV, раздел 3.6] в точке Такие аппроксимации имеют вид

где

Эти аппроксимации часто берутся в простейшем варианте:

Так, например, при имеем

Коэффициент вариации. Когда X — переменная с положительными значениями, ее изменчивость можно выразить в удобном виде с помощью коэффициента вариации определяемого как

[см. II, раздел 9.2.6].

Для функции аппроксимации (2.7.2) наиболее четко выражаются в терминах коэффициента вариации. Имеем

поэтому

В частности,

Пример 2.7.1. Стандартное отклонение выборки. Предположим, что У — нормальная переменная с параметрами , и рассмотрим дисперсию выборки для выборки . В разделе 2.5.4 г) и д) показано, что порожденная (индуцированная) случайная величина V имеет математическое ожидание и дисперсию Для случайной переменной порожденной стандартным отклонением выборки, выражение (2.7.1) приводит к следующим приближениям для после подстановки в (2.7.1) V вместо вместо вместо если принять равным

Точные значения [см. раздел 2.5.4] имеют вид

Аппроксимации (2.7.1) в этом случае оказываются довольно точными, как можно судить по некоторым численным значениям, представленным в табл. 2.7.1.

Таблица 2.7.1. Выборочное ожидание и дисперсия стандартного отклонения выборки из нормальной генеральной совокупности. Точные и приближенные значения

Не следует думать, что аппроксимации вида (2.7.1) всегда так точны, как в этом случае. Менее благоприятные ситуации рассматриваются в [II, раздел 9.9].

б) Функции двух случайных переменных. Формулы (2.7.1) можно обобщить на случай двух переменных. Пусть — заданная дифференцируемая функция случайных переменных где

Тогда

и

где

Когда некоррелированны (и тем более когда они независимы), приближение для дисперсии сводится к

Пример 2.7.2. Дисперсия произведения и частного. Для произведения независимых случайных переменных формула (2.7.2) становится точной, в то время как формула (2.7.4) для дисперсии дает приближение

Соответствующей приближенной формулой для коэффициента вариации [см. раздел 2.7.1] будет

В этом примере легко указать точные формулы:

откуда

Для частного получаем приближения

и

Таким образом, приближения для коэффициентов вариации совпадают.