2.5.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА (t-распределение)

Предположим, что X — нормальная случайная величина с параметрами [см. II, раздел 11.4.3], что — выборка наблюдений над X, так что среднее значение выборки служит оценкой II и что

можно взять в качестве оценки [см. раздел 2.5.4,г)]. Как обычно, переменные вводятся как статистические копии рассматриваются в качестве реализации для Тогда оказываются реализациями соответственно

Из раздела 2.5.4,в) следует, что — взаимно независимые переменные, имеющие распределение с одной и степенями свободы соответственно.

Стьюдент (У. Госсетт) ввел случайную величину

которая называется отношением Стьюдента (биографические

сведения приведены в [Pearson and Kendall (1970) - D]. Выборочное распределение этой величины, имеющее большое значение при статистическом подходе, называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Можно видеть, что определенная выше, является реализацией случайной величины

такой, что

где

и

Таким образом, взаимно независимые переменные, имеющие распределения с одной и степенями свободы соответственно, а переменная Стьюдента Т, определенная выше, равняется

Дадим более общее определение отношения Стьюдента и его распределения в следующем виде.

Определение 2.5.1. Отношение Стьюдента. Случайная переменная которую можно выразить в виде где — взаимно независимые случайные величины, имеющие распределения с одной и степенями свободы соответственно, называется отношением Стьюдента с степенями свободы, а его распределение называется распределением Стьюдента с степенями свободы.

Поскольку числитель и знаменатель — взаимно независимые переменные, пропорциональные -переменным, оказывается достаточно простым делом вывести распределение , следовательно, распределение [см. раздел 2.5.6]. В результате получим, что п.р.в. отношения Стьюдента с степенями свободы в точке равна:

где

Существует много таблиц распределения (один из вариантов приведен в приложении 5).

П.р.в. симметрична относительно начала. Она качественно напоминает п.р.в. стандартного нормального распределения, но отличается более «массивными» хвостами (т.е. медленнее убывает). Этот эффект сильнее выражен для меньших значений [см. рис. 4.5.1]. В

частном случае, когда она совпадает с распределением Коши [см. II, раздел 11.7], а для значений превышающих 40, она очень близка к стандартной нормальной плотности.

Первые моменты равны:

Рис. 2.5.2. Функция плотности вероятностей для типичных значений тип