Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 2. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. МОМЕНТЫ И ДРУГИЕ СТАТИСТИКИ

2.1.1. СТАТИСТИКА

Как уже объяснялось в гл. 1, если мы стремимся описать изменчивые и неопределенные черты природы, то разумно это сделать, пользуясь понятиями случайной величины и ее распределений вероятностей (см. II, гл. 4). При этом обычно постулируется, что эти распределения должны принадлежать к определенным семействам, предполагаемым в явном виде или подразумеваемым. Тогда одной из целей статистического исследования будет выделение того члена заданного семейства рассматриваемого распределения, с которым мы имеем дело, исключение (по крайней мере, условное) некоторых возможных членов в семействе или отрицание либо подтверждение принадлежности к постулированному семейству в целом. Эти цели могут быть достигнуты в результате проведения соответствующего анализа доступных данных. Оказывается, что основную роль в анализе играют комбинации величин, получаемых из имеющихся данных, каждая из которых называется статистикой. Эти комбинации, заслуживающие отдельного рассмотрения, зависят от природы распределений вероятностей, включенных в анализ, а также от характера выводов, которые пытаются получить.

Пример 2.1.1. Выборочная проверка. Рассмотрим набор (группу или партию) более или менее схожих предметов, состоящих из отдельных единиц, которые, однако, различаются по определенному признаку, измеряемому или наблюдаемому. Например, это могли бы быть обработанные бруски длиной номинально 50 мм. Действительная же длина их несколько меняется вследствие флуктуаций в процессе производства. Желательно оценить долю брусков, длина которых колеблется в заданном диапазоне, например между 49 и 51 мм. Такие бруски будем называть годными, в то время как остальные будут называться дефектными. По практическим соображениям оказывается неприемлемым проверить все бруски в партии. Вместо этого можно проверить выборку из брусков, определив заранее ее объем, например 100 штук. При этом потенциально доступная информация — размещение меток

«годный», «дефектный» на каждом из 100 проверенных брусков. Если бы выборка формировалась случайно (и были бы предприняты обычные предосторожности, чтобы гарантировать ее случайность), т. е. так, чтобы у каждого из различимых (неупорядоченных) подмножеств по 100 брусков были бы одинаковые шансы оказаться выбранным, то полной информации об этих 100 метках на брусках не потребовалось бы. При последующем анализе понадобилось бы только общее число дефектных единиц в выборке (например, четыре).

В этом примере статистикой является просто общее число дефектных единиц в выборке.

Для выборки объема извлеченной из партии объема содержащей дефектных единиц (где неизвестно), число дефектных единиц будет случайной величиной (скажем, Вероятность того, что в данной выборке окажется определенное число (например, ) дефектных единиц, равняется

Это элемент семейства гипергеометрических распределений [см. II, раздел 5.3]. Неизвестным параметром, с помощью которого идентифицируют члены семейства, является переменная относящаяся к партии в целом. Выводы относительно значения должны основываться на статистике (в нашем примере равной четырем), т. е. на полном числе дефектных единиц в выборке [см. пример 2.1.1].

Пример 2.1.2 (продолжение). Использование упрощенных аппроксимирующих семейств распределений. Если бы в примере 2.1.1 объем партии был гораздо больше, чем объем выборки (например, то можно было бы с небольшой погрешностью заменить гипергеометрическое распределение (2.1.1) биномиальным (см. II, раздел

Полное число дефектных единиц в выборке по-прежнему оставалось бы подходящей статистикой.

Пример 2.1.3 (продолжение). Введенное в примере 2.1.1 семейство распределений предопределяется процедурой формирования выборки. Теперь предположим, что вместо того, чтобы пытаться оценить долю скажем, брусков, длина которых х лежит в заданном интервале надо для всех пар значений и и оценить долю тех брусков, длина которых х принадлежит интервалу Эта задача эквивалентна следующей: будем считать измеренную длину х определенного бруска реализацией непрерывной случайной величины X [см. II, раздел 10.1] и оценим распределение вероятностей X. Это в свою очередь можно было бы интерпретировать следующим образом: постулируем для X нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением а [см. II, раздел 11.4] и оценим значения параметров распределения . [Естественно подумать, что это несостоятельный постулат, так как в принципе

можно получить сколь угодно большие наблюдаемые значения если величина X нормально распределена. В то же время длина наших брусков не может быть меньше нуля и практически не будет больше, чем например, 60 мм. Однако фактически предположение нормальности может оказаться вполне разумным, если стандартное отклонение будет малым [см. II, разделы 9.2 и 11.4.3], так как тогда становится пренебрежимо малой вероятность очень больших отклонений от среднего.] В этом случае подходящими статистиками были бы раздел 6.4.1] (при условии, что заданы длины брусков в выборке объема существенно меньше, чем объем партии).

Пример 2.1.4. Нестатическая ситуация. В примерах 2.1.1, 2.1.2 и 2.1.3 мы имели дело с выборками, взятыми из фиксированного распределения. Такие случаи можно назвать статическими. Рассмотрим нестатическую ситуацию. На пружине, закрепленной с одного конца, подвешен определенный груз На результат измерения длины пружины влияют ошибки измерения. Процедура повторяется для Веса считаются точно известными числами. Переменные такого типа часто называют неслучайными переменными. Соответствующие длины пружины содержат ошибки. Удобная модель: для каждого будем рассматривать у, как реализацию нормально распределенной случайной переменной У, - с математическим ожиданием [см. II, раздел 8.1] (закон Гука) и дисперсией [см. II, раздел (одинаковой для всех ). Цель эксперимента состоит в том, чтобы оценить модуль упругости 0. Оказывается, что соответствующими этому случаю статистиками будут и [см. пример 4.5.3]. Они представляют собой комбинации наблюдаемых значений случайных переменных и связанных с ними неслучайных переменных

Теперь суммируем результаты анализа рассмотренных примеров в виде следующего определения.

Определение 2.1.1. Статистика. Пусть обозначает множество наблюдаемых значений случайных переменных, а — множество (известных) значений связанных с ними неслучайных переменных. Статистикой называется любая функция этих переменных, например количественное значение которой может быть рассчитано, как только будут указаны выборочные значения и величины связанных с ними переменных

В любой процедуре вывода могут быть использованы только статистики. Например, согласно теории оценивания надо указать, каким членом заданного семейства распределений порождена выборка. При этом требуется дать численное значение (оценку) каждому параметру, который содержится в математических формулах, определяющих семейство

[см. гл. 3]. Каждое такое численное значение должно быть статистикой. Практические правила оценивания сводятся к выбору статистик, наиболее подходящих для этой цели.

Статистики, которые строятся в теории оценивания и в теории проверки статистических гипотез, часто оказываются комбинациями простой системы статистик, известных как выборочные моменты и являющихся выборочными аналогами моментов генеральной совокупности.

1
Оглавление
email@scask.ru