4.9. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ПАРАМЕТРА

4.9.1. ТОЧНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ

Как видно из предшествующих разделов этой главы, теория доверительных интервалов для одного параметра развита неплохо. Теперь перейдем к двухпараметрическим семействам распределений. Среди них наиболее важным является нормальное распределение, для которого, как показано в примерах 4.5.1 и 4.5.2, отдельные доверительные интервалы для каждого из параметров строятся без особого труда. Это интервалы соответственно, где

Здесь (исходя из выборки

- -квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы, и

- -квантиль распределения хи-квадрат с степенями свободы,

Тогда с вероятностью 0,95 имеем

и с той же вероятностью

Отсюда, однако, не следует, что с вероятностью одновременно

(попадание двумерного параметра в прямоугольник), так как индивидуальные доверительные интервалы построены с помощью величин соответственно, которые являются зависимыми.

Итак, даже для такого простого случая вопрос о построении совместной доверительной области для двух параметров не так прост. Нужно прежде всего уточнить, что же мы имеем в виду под «совместной доверительной областью», какими свойствами она должна обладать и зачем она нужна на практике.

Следует сказать для начала, что теория таких областей есть, в сущности, переложение теории одномерного доверительного интервала. Для определения двумерной доверительной области нужно обратиться к такой случайной величине У, распределение которой зависит

от двух параметров оцениваемых через чтобы с вероятностью 95% для всех действовало соотношение

Здесь — реализации случайных величин А, В. С помощью реализации определяемая 95%-ная доверительная область для , а именно

единичный круг на плоскости с центром в

Вообще, для случайной переменной распределение которой зависит от двух параметров приемлемой доверительной областью для основанной на оценках может служить часть плоскости внутри замкнутой кривой такой, что

Рис. 4.9.1. Доверительная область для пары параметров

Такие области существуют, и это будет показано ниже [см. пример 4.9.1]. Мы построим совместные доверительные области для параметров распределения. Прежде чем перейти к построению, скажем несколько слов о практическом применении подобных областей. Главная проблема, возникающая в ситуациях с несколькими параметрами, состоит в оценке достоверности данного значения комбинации параметров, предпочтительно в терминах доверительных интервалов. В случае двух параметров (скажем, ) их простейшая комбинация — сам параметр а (или ). Мы немедленно приходим к тому разочаровывающему факту, что, вообще говоря, невозможно построить доверительный интервал для а с известным уровнем доверия исходя из 95%-ной доверительной области для совокупности Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 4.9.1, где область, ограниченная кривой С, является 95%-ной доверительной областью для Очевидный 95%-ный доверительный интервал для а есть — проекция кривой С на ось а. Действительно, по определению доверительной области, утверждение, что лежит внутри С, выражается одним или несколькими неравенствами относительно совместная вероятность которых равна 0,95.

Этим неравенствам удовлетворяют все точки, лежащие внутри С. Если же лежит внутри С, то а лежит внутри проекции Отсюда логически следует, что

[см. II, теорема 3.4.5]. Итак, хотя является доверительным интервалом, его точный уровень не известен; можно лишь сказать, что он не меньше 95%.

Если нельзя построить точные доверительные интервалы для и исходя из знания двумерных доверительных областей, то и нельзя надеяться построить точные доверительные интервалы для комбинации параметров вида а Методы, позволяющие получить доверительные интервалы уровня не менее заданного, однако, существуют [см., например, Scheffe (1953), (1970)].

Теперь перейдем к примерам построения двумерных доверительных областей.

Пример доверительная область для . Рассмотрим величины где как обычно, X — случайная величина, порожденная статистикой — величина, порожденная (обозначения те же, что и ранее). Тогда величина нормальна , и имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Более того, и X статистически независимы [см. теорему 2.5.2].

Теперь, если -квантиль стандартного нормального распределения, то

так что

Отсюда следует с вероятностью 0,95, что клинообразная область на рис. 4.9.2 содержит точку . Таким образом, эта область является 95%-ной совместной доверительной областью для . Но поскольку она не ограничена, из нее нельзя извлечь какой-либо пользы.

Рис. 4.9.2. Заштрихованная клинообразная область — неограниченная доверительная область для пары

где квантили уровней 0,025 и 0,975 распределения хи-квадрат с степенями свободы, так что

Отсюда следует, что на плоскости полоса на рис. 4.9.3 содержит а с вероятностью 0,95. Эта полоса — двумерная доверительная область для а.

Рис. 4.9.3. Заштрихованная полоса — неограниченная доверительная область для а.

Так как X и статистически независимы, утверждения (4.9.1) и (4.9.2) также независимы, откуда

т. е. с вероятностью

Это равносильно предложению, которое тоже выполнено с вероятностью что случайная область определенная (4.9.3), содержит точку . Если мы заменим X и их значениями х и то результирующая область будет 90,25%-ной доверительной областью для пары . Эта область изображена на рис. 4.9.4.

Если мы хотим получить доверительную область уровня, скажем 0,95, то мы должны провести те же вычисления, взяв за квантиль уровня 0,9875 стандартного нормального распределения (т. е. 2,24). При — квантили уровней 0,0125 и 0,9275 распределения с 10 степенями свободы. (Чтобы пояснить, откуда взялось число 0,9875, отметим, что мы должны заменить вероятность 0,95 на в каждом из равенств (4.9.1) и (4.9.2). Чтобы получить такие вероятности, нужно брать квантили нормального

Рис. 4.9.4. Заштрихованная фигура — пересечение областей рис. 4.9.2 и 4.9.3. Она является доверительной областью для пары

Рис. 4.9.5. Границы интервала — квантили уровней

распределения и распределения хи-квадрат уровней как показано на рис. 4.9.5.)