Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.5.4. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Этот широко используемый и наиболее эффективный метод детально описан в гл. 6. В настоящем же разделе мы лишь кратко обсудим его.

М. Кендалл считает первой публикацией на эту тему статью Даниила Бернулли, вышедшую в 1777 г. [см. Pearson and Kendall (1970), гл. 11 - D].

Начнем с простого примера.

Пример 3.5.4. Оценка максимального правдоподобия параметра экспоненциального распределения. Предположим, что X распределено экспоненциально с неизвестным математическим ожиданием, т. е. принадлежит к однопараметрическому семейству:

Семейство возникает, когда пробегает все положительные значения. То особое значение (скажем, ), которое свойственно нашему неизвестно. Мы будем называть его истинным значением . Желательно оценить по данным состоящим из независимых наблюдений X. Имея в виду, что фиксированы, строим функцию

как функцию свободной переменной в, для которой наши данные служат известными и фиксированными коэффициентами. Она называется функцией правдоподобия данных [см. разделы 4.13.1, 6.2.1]. В нашем примере X — непрерывная переменная. Данные должны рассматриваться как конечные (ограниченные) приближения к бесконечным десятичным дробям, требуемым для точной записи действительных чисел, так что означает некоторое число, лежащее в интервале где — размер измерительной сетки, скажем —1 мм, для , измеряемого в миллиметрах. При малых такого порядка вероятность

может быть заменена с необходимой точностью на

Вероятность получения наблюдаемой выборки для данного значения в будет поэтому равной

Следовательно, для каждого фиксированного значения (скажем, параметра численное значение правдоподобия пропорционально и мы можем, таким образом, принять за значение правдоподобия выражение (которое определяется с точностью до умножения на константу, т. е. функцию данных, не зависящую от )

где остаются фиксированными, а — неопределенная переменная.

Между вероятностью и правдоподобием есть существенная разница: вероятностные утверждения касаются множества возможных исходов при фиксированном значении . В утверждениях о правдоподобии, напротив, значения исходов фиксированы и рассматриваются все возможные значения в. При подходящих условиях суммы вероятностей также являются вероятностями, но суммы правдоподобий не являются правдоподобиями и т. д.

Несмотря на эти различия, есть и общие свойства. Относительно большие правдоподобия соответствуют вероятным значениям в более, чем относительно малые, так как большие вероятности соответствуют сильно ожидаемым исходам более, чем малые вероятности.

Рис. 3.5.3. Функция правдоподобия из примера 3.5.4

Из двух значений называется более правдоподобным, чем в смысле большего правдоподобия нахождения вблизи истинного значения , если Значение в котором достигается максимальное значение функции правдоподобия, так что для любого является наиболее в этом смысле правдоподобным значением (для рассматриваемых данных). При применении метода максимального правдоподобия это значение (зависящее, конечно, от данных берут как оценку . Она называется оценкой максимального правдоподобия для .

На рис. 3.5.3 показан график функции правдоподобия вместе с . В этом примере величина может быть получена дифференцированием как подходящий корень уравнения правдоподобия или, что то же самое, уравнения

где задано (3.5.6). Следовательно, в нашем примере уравнение правдоподобия сбодится к

откуда

где — среднее выборки.

Приведенное описание нуждается в дополнениях. Строго говоря, в качестве функции правдоподобия следует взять , где а — произвольная положительная функция наблюдений, а определено, как в (3.5.6). Это не влияет на процедуру максимизации, поскольку для любого положительного и достигают своего максимума при одном и том же значении .

На практике при использовании метода максимального правдоподобия обычно не говорят явно об истинном значении , которое

выделяет определенное из рассматриваемого семейства плотностей заданного вида пространство параметров, в примере Вместо этого: 1) говорят (несколько вольно) о задаче оценивания параметра плотности оаспределения вероятности , имея в виду под истинное значение одновременно говорят о функции правдоподобия имея в виду под в переменную, чья область изменений — пространство параметров .

Процедура максимизации часто упрощается, если вместо функции правдоподобия использовать ее логарифм логарифмическую функцию правдоподобия, поскольку при этом нужно дифференцировать не произведение, а сумму; достигает своего максимума при том же значении что и . (Нельзя, однако, думать, что максимум может быть найден дифференцированием в каждом случае. Контрпримеры см. в гл. 6.)

Когда (как в примере 3.5.3) уравнение правдоподобия имеет простое и ясное решение, можно исследовать выборочное распределение оценки непосредственно. Однако чаще решение може быть получено лишь в виде итеративной численной процедуры, и потому прямое изучение выборочного распределения невозможно. В соответствии с общей теорией [см. гл. 6] для подобных случаев возможны простые и эффективные аппроксимации.

Этот метод также применим при нескольких параметрах и когда наблюдения не обязательно независимы и одинаково распределены [см. гл. 6].

1
Оглавление
email@scask.ru