4.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Оценка параметра в есть реализация соответствующей случайной величины [см. определение 2.2.1] , поведение которой может быть описано в терминах ее распределения, т. е. в терминах выборочного распределения оценки. Это распределение, разумеется, будет зависеть от неизвестного значения в.

Можно применить к этому распределению концепцию, развитую в разделе 4.1, и получить обобщенное описание поведения на языке вероятностных интервалов, которые а свою очередь будут зависеть от Даке принимая во внимание что значение неизвестно, эти сведения бесполезны. Обычно все же требуется более прямая информация о точности оценки. Один из способов дать такую информацию состоит в придании точной формы (формализации) интуитивному подходу, продемонстрированному в примере 4.1.1, и в построении, если это возможно, интервала, который с заданной вероятностью содержит . Поскольку понятие вероятности применимо только к случайным величинам и (исключая байесовскую точку зрения) в не является случайной величиной, видно, что это может быть достигнуто только в том случае, если концы интервала сами окажутся случайными величинами. Такие интервалы называются доверительными, а их конечные точки — доверительными пределами. Прежде чем перейти к формальным определениям, приведем простой пример (он может показаться несколько искусственным, так как основан на нормальном

распределении, где общий вид распределения известен и единственным неизвестным параметром является математическое ожидание; однако его искусственность оправдана простотой и частой встречаемостью соответствующего выборочного распределения).

Пример. 4.2.1. Доверительные интервалы для математического ожидания нормального распределения при известном значении дисперсии. Пусть — реализация случайной величины X, распределенной нормально с параметрами статистика есть реализация случайной величины X, также распределенной по нормальному закону с параметрами Соответствующая стандартизованная случайная величина распределена нормально с параметрами . Так же, как в примере 4.1.2, можно построить симметричный вероятностный интервал для уровня 0,95 (или любого другого); это будет интервал Таким образом,

Соотношение

равносильно двум соотношениям:

и

выполняющимися одновременно, или соотношениями

и

или соотношению

Равенство (4.2.1) поэтому может быть записано в «обращенном»

ему можно придать такой смысл: с вероятностью 0,95 случайный интервал

«накрывает» (неизвестное) истинное значение . (Под случайным интервалом понимается интервал, границы которого — случайные величины.) Взяв х, наблюдаемое выборочное значение, за реализацию X, можно утверждать, что интервал

границы которого (при фиксированном — известные числа, представляет собой реализацию случайного интервала с примером 4.1.2]. Эта реализация называется доверительным интервалом для в с коэффициентом доверия 0,95, или, короче, 95%-ным доверительным интервалом для 0. Повторения выборочной процедуры будут

Рис. 4.2.1. Примеры доверительных интервалов для параметра в нормального распределения, построенных по выборке из 25 значений давать новые значения элементам выборки , очевидно, другие реализации случайного интервала (4.2.6). При большом числе повторений этой процедуры в 95% случаев значение в будет попадать внутрь доверительного интервала. Иными словами, 95% всех реализаций доверительного интервала будут содержать неизвестную нам точку в. В этом смысле можно «быть уверенным на что в будет внутри доверительного интервала, построенного по какой-то одной выборке объема Ситуация проиллюстрирована на рис. 4.2.1.

Доверительные интервалы для когда X есть (при известном а). Стандартные обозначения для математического ожидания нормального распределения и его стандартного отклонения есть соответственно. Если X распределена по нормальному закону с параметрами , симметричный 95%-ный доверительный интервал для имеет вид

Теперь дадим формальное определение доверительного интервала и (в следующем разделе) формализацию процедуры, использованной в примере 4.2.1 для его построения.

Определение 4.2.1. Доверительный интервал, доверительные пределы. Доверительным интервалом параметра распределения случайной величины X с уровнем доверия порожденным выборкой называется интервал с границами которые являются реализациями случайных величин таких, что

Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами (здесь — статистические копии X [см. определение 2.2.1]).

Так же, как в случае вероятностных интервалов [см. раздел 4.1.1], интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение в.