4.10. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ НА ОСНОВЕ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ
Когда выборка достаточно велика, становится возможным упростить приближение.
4.10.1. ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ
Пусть X имеет плотность распределения 
. Исходя из выборки 
строят функцию правдоподобия [см. раздел 6.2.1]
Логарифмической функцией правдоподобия будет 
, а ее производная по в [см. IV, раздел 4.5] есть
Выборочное распределение этой функции — распределение индуцированной случайной величины
где 
— статистические копии X. Случайные величины 
также независимы и одинаково распределены и согласно центральной предельной теореме [см. II, раздел 17.3] их сумма 
асимптотически Нормальна. Чтобы как-то использовать этот факт, нам необходимо получить выражения для 
Первое математическое ожидание равно нулю, так как
в предположении, что 
удовлетворяет обычным условиям регулярности [см. IV, раздел 4.7]. Так как 
то 
имеет нулевое математическое ожидание, а потому 
Дисперсия величины 
равна
Теперь
и далее
откуда
Интеграл в правой части (4.10.4) записывается в виде
При нужных условиях регулярности [см. раздел 3.3.3, в)] первый из этих интегралов преобразуется к виду 
откуда видно, что он равен 0, так как 
Наконец, из (4.10.4)
и из (4.10.3)
Положим по определению
где
«количество информации» в выборке (3.3.6).
Итак, величина 
определенная соотношением (4.9.2), имеет распределение, близкое к 
