9.8.2. ГЛАВНЫЕ ЭФФЕКТЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ: ТРИ ФАКТОРА НА ДВУХ УРОВНЯХ

Для плана 23, в котором три фактора А, В и С варьируют (каждый) на двух уровнях, кодирование выглядит так:

(см. скан)

Главный эффект А, как и раньше, пропорционален разности между:

1) средним по всем комбинациям обработок, включающим верхний уровень фактора А (сумма всех таких откликов равна и

2) средним по всем комбинациям обработок, включающим нижний уровень фактора А (сумма всех таких откликов равна

Значит, главный эффект фактора А пропорционален

и следовательно, с учетом соглашения, что 1 обозначает (1), это эквивалентно выражению

Аналогично для главных эффектов факторов В и С соответствующие комбинации откликов вычисляются по формулам:

В этом случае существуют четыре взаимодействия: три взаимодействия второго порядка плюс тройное взаимодействие А, В и С. Их определения аналогичны тем, что были использованы для эксперимента 22. Например, взаимодействие А В определяется разностью между:

1) эффектом повышения А при условии, что В зафиксирован на верхнем уровне, а по всем уровням С проведено усреднение, и

2) соответствующим эффектом, полученным для В, зафиксированного на нижнем уровне.

Здесь эффект 1 пропорционален

а эффект 2 пропорционален

Таким образом, взаимодействие факторов А и В (АВ - взаимодействие) в полученной комбинации откликов определяется из

Это выражение можно получить непосредственно из

Аналогично для взаимодействия имеем

а для взаимодействия

Наконец, тройное взаимодействие представляет собой разность между тем, что можно назвать частным взаимодействием А В на верхнем уровне фактора С, а именно

и соответствующей комбинацией на нижнем уровне С:

откуда тройное взаимодействие получается из формального выражения

В приведенных вычислениях все отклики относились к одному блоку. На практике может встретиться несколько блоков, скажем к. Тогда эффекты обработок надо оценивать, усредняя по всем блокам отдельные оценки, получаемые в каждом из них. Так, главный эффект фактора А надо будет оценивать, вычисляя статистику для каждого блока отдельно, а затем усредняя по всем блокам. И точно так же — по всем остальным главным эффектам и эффектам взаимодействия. Индивидуальные наблюдения, которых теперь в каждом из к блоков), можно использовать для оценки семи эффектов обработок (три главных эффекта, три взаимодействия второго порядка, одно тройное взаимодействие) и еще к блоковых средних, оставляющих эффективных наблюдений для оценивания вариабельности.