8.3.4. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Для исходной модели (без ограничений) есть следующее важное тождество относительно переменной и:
или, что короче,
Это можно показать, записав 
в виде 
откуда и следует (8.3.1), если заметить, что 
поскольку в нормальных уравнениях 
Так как 
подставляя в (8.3.2) частное значение 
получим уравнение
Вспомнив, что 
мы можем записать соответствующее уравнение в терминах вторичных случайных величин:
При выполнении предпосылок из раздела 8.3.1 величина представляет собой сумму квадратов 
независимых нормально распределенных случайных величин, каждая из которых имеет нулевое среднее и дисперсию 
значит 
распределена как 
[см. раздел 2.5.4, а)]. Поскольку 
имеет распределение 
распределение первого слагаемого в правой части (8.3.4) можно найти с помощью стандартной теоремы. Это распределение имеет вид 
Более того, можно показать, что оба слагаемых в правой части этого выражения независимы. Как следует из теоремы 
— случайная величина с распределением 
Следовательно, при наших жестких предположениях можно легко получить, что 
как и было установлено в разделе 8.2.4.
Из приведенного выше уравнения (8.3.3) не удается вычислить значение 
поскольку оно содержит сумму квадратов относительно неизвестного ожидаемого значения. Однако, подставив в уравнение 
получим
Учитывая, что 
можно переписать это выражение так:
Полученное соотношение известно как тождество дисперсионного анализа 
с разделом 5.8.7]. Оно показывает, что общую сумму квадратов 
можно разделить на две части: 
— сумму квадратов, обусловленную моделью, которая подогнана к
данным (СКМ), и 
остаточную сумму квадратов (ОСК), представляющую собой ту остаточную вариацию в данных, которая еще сохраняется после того, как модель подогнана к данным, т. е.
Для проверки различных гипотез в последующих разделах мы будем пользоваться множеством других тождеств дисперсионного анализа при разбиении СКМ на компоненты, связанные с различными источниками вариации.
В выражении (8.3.5) нет неизвестных, и мы можем вычислить по нему 
следующим образом:
что позволяет избежать возведения в квадрат и сложения отдельных остатков. Из системы нормальных уравнений видно, что, поскольку 
, СКМ можно еще записать в виде 
, т. е. как произведение 
на правую часть системы нормальных уравнений. Следовательно, 
получается и из
Эта формула использовалась раньше для вычисления 
в примерах 8.2.11 и 8.2.14.
Выше мы отмечали, что общая сумма квадратов 
равна 
что представляет собой остаточную сумму квадратов при 
, т. е. это сумма остатков, полученных при условии, что ни один параметр не подбирался по имеющимся данным. Тогда 
— та величина, на которую уменьшаются остатки в результате построения модели 
Чтобы подчеркнуть это, мы будем обозначать СКМ как 
и рассматривать эту величину как уменьшение общей суммы квадратов, обусловленное подбором 
.
Пусть теперь снова 
обозначает МНК-оценку 
при условии, что верна гипотеза Н. Подставив 
в основное тождество (8.3.2), получим
Так как 
остаточная сумма квадратов для модели, ограниченной согласно гипотезе Н, дополнительная подгонка (т. е. дополнительное уменьшение 
в общей сумме квадратов), когда подбирается модель без ограничений, получается из выражения
С другой стороны, мы можем думать об этом увеличении в остатках как об отсутствии подгонки (т. е. соответствия между данными и моделью), когда на в наложены ограничения Н. Эту разность часто называют суммой квадратов, обусловленной гипотезой. Хотя (8.3.8) может пригодиться при поиске дополнительного уменьшения в некоторых простейших случаях, приведенных ниже, общий подход заключается в вычислении обоих остатков и вычитании.
