Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.5. ТАБЛИЦЫ ЧАСТОТ ПЕРЕКРЕСТНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ (ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ). КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ7.5.1. ТАБЛИЦЫ 2х2; СПЕЦИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫПримером типичной таблицы Таблица 7.5.1. (см. скан) Влияние прививки на холерную инфекцию Четыре элемента таблицы, а именно 1625, 5, 1022, 11, — это частоты; мы имеем, таким образом, таблицу в виде квадрата вместо более привычного ряда столбцов. Эта таблица частот в принципе пригодна для построения критерия согласия Есть особенности таблиц 1) в некоторых случаях необходимо делать «поправку на непрерывность», чтобы уменьшить погрешность, возникающую при аппроксимации непрерывным распределением 2) для таблиц 2x2 односторонний критерий Эти особенности рассмотрены ниже. Нулевая гипотеза. В связи с табл. 7.5.1 возникает вопрос: значимо ли воздействие прививки на вероятность заболевания? Попробуем принять в качестве нулевой гипотезы, что прививка не оказывает действия и что видимый эффект от прививки есть результат случайных флуктуаций. Мы должны, следовательно, сравнить элементы в таблице с соответствующими ожидаемыми элементами в предположении справедливости гипотезы. Ожидаемые частоты. Из гипотезы следует, что для 2663 человек, находящихся в группе риска, ожидаемая доля заболевших после прививки будет той же, что и ожидаемая доля заболевших среди тех, кому прививку не делали; общее значение этих долей совпадает с долей заболевших во всей выборке, а именно а) случайно выбранный представитель из группы людей с прививкой будет инфецирован и б) случайно выбранный представитель из группы непривитых людей будет инфецирован с понятием однородности для ожидаемых долей. При нулевой гипотезе ожидаемая частота в любой ячейке может быть найдена умножением доли Таблица 7.5.2. (см. скан) Ожидаемые доли заболевших людей при гипотезе, что прививка неэффективна Таблица 7.5.3. (см. скан) Ожидаемые частоты, соответствующие табл. 7.5.2 Только один элемент следует вычислять умножением маргинальной частоты на ожидаемую долю; остальные элементы находятся вычитанием. Значение
Таблица 7.5.4. (см. скан) Наблюденные частоты, ожидаемые частоты и разности Число степеней свободы Число степеней свободы тогда равно:
Поправка на непрерывность. В точном критерии для проверки гипотезы независимости, описанном в разделах 5.4.1 и 5.4.4, уровень значимости является суммой вероятностей (при нулевой гипотезе) получения ряда таблиц 2x2, а именно той таблицы, которая реально наблюдалась, плюс все таблицы с теми же маргинальными частотами, но еще более далекие от независимости. Поясним, что такое «более далекие» таблицы. В нашем примере ожидаемые частоты при нулевой гипотезе [см. табл. 7.5.3] равны:
а наблюденные частоты следующие:
5 случаев заболевания после прививки — это малая частота (меньше ожидаемой) и упомянутые выше более далекие случаи были бы представлены таблицами с 4, 3, 2, 1 и 0 заболевшими после прививки. Поскольку маргинальные числа должны остаться теми же, эти таблицы образуют следующее множество:
Так как имеется только одна степень свободы, мы должны рассмотреть только один элемент в каждой таблице, скажем, элемент в верхнем правом углу, представляющий категорию «заболевших после прививки». Уровень значимости относительно гипотезы независимости тогда равен
где
модифицированной таблицей
в которой число 5 увеличено до 5,5, а все другие элементы изменены так, чтобы сохранить общие маргинальные частоты. При такой модификации ожидаемые частоты остаются без изменения. Эта процедура Рис. 7.5.1. (см. скан) Ординаты, представляющие Рис. 7.5.2. (см. скан) Прямоугольники единичной ширины с высотами, равными ординатам известна как поправка Йейтса на непрерывность для критерия
Модифицированная величина
Уровень значимости. Поскольку разности между ожидаемыми частотами и скорректированными на непрерывность наблюденными частотами при вычислении статистики Пирсона
которая имеет те же маргинальные частоты и поэтому те же ожидаемые частоты, но в которой каждая разность имеет обратный знак. Например, -4,79 превращается в +4,79 и наоборот. Следовательно, если мы возьмем в качестве нашего уровня значимости вероятность
то должны будем принять во внимание не только сумму Р, вероятностей для таблицы наблюденных частот, но также и сумму Чтобы выделить интересующую нас вероятность, заметим, что
так как
В нашем примере Условия Кокрена применимости критерия Следующий пример показывает, что даже эта рекомендация не универсальна. В примере сумма четырех частот равна лишь 30, но в то же время процедура Пример 7.5.1. Преступность и близнецы. Данные относятся к 30 преступникам мужского пола, каждый из которых имел брата близнеца. Тридцать человек были классифицированы: а) по природе родства (однояйцовые или разнояйцовые близнецы) и б) по виновности или невиновности брата. Результаты представлены в табл. 7.5.5. Таблица 7.5.5 (см. скан) Непосредственное вычисление ожидаемых частот в предположении отсутствия связи между природой родства и преступностью близнеца приводит к следующим ожидаемым частотам: (см. скан) Статистика Пирсона, вычисленная непосредственно по этим данным, равна
Применение поправки на непрерывность, которая уменьшает абсолютную величину разности между наблюденной и ожидаемой частотой в ячейке на 0,5, приводит к скорректированной величине статистики:
Ясно, что требуется односторонний критерий, и соответствующий уровень значимости поэтому равен:
Этот результат хорошо соотносится с величиной 0,0005, полученной по точному критерию. Он является высоко значимым и решительно отвергает нулевую гипотезу.
|
1 |
Оглавление
|