Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.5. ТАБЛИЦЫ ЧАСТОТ ПЕРЕКРЕСТНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ (ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ). КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ

7.5.1. ТАБЛИЦЫ 2х2; СПЕЦИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

Примером типичной таблицы (два на два) [см. также 5.4.2] может служить табл. 7.5.1. В ней приведены сведения о числе людей в некоторой совокупности, заболевших и не заболевших холерой, с указанием, была ли им сделана противохолерная прививка.

Таблица 7.5.1. (см. скан) Влияние прививки на холерную инфекцию

Четыре элемента таблицы, а именно 1625, 5, 1022, 11, — это частоты; мы имеем, таким образом, таблицу в виде квадрата вместо более привычного ряда столбцов. Эта таблица частот в принципе пригодна для построения критерия согласия с некоторой выдвинутой гипотезой.

Есть особенности таблиц которые заслуживают специального упоминания:

1) в некоторых случаях необходимо делать «поправку на непрерывность», чтобы уменьшить погрешность, возникающую при аппроксимации непрерывным распределением точного выборочного распределения, которое является дискретным;

2) для таблиц 2x2 односторонний критерий Для расхождений между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами превращается в двусторонний.

Эти особенности рассмотрены ниже.

Нулевая гипотеза. В связи с табл. 7.5.1 возникает вопрос: значимо ли воздействие прививки на вероятность заболевания? Попробуем принять в качестве нулевой гипотезы, что прививка не оказывает действия и что видимый эффект от прививки есть результат случайных флуктуаций. Мы должны, следовательно, сравнить элементы в таблице с соответствующими ожидаемыми элементами в предположении справедливости гипотезы.

Ожидаемые частоты. Из гипотезы следует, что для 2663 человек, находящихся в группе риска, ожидаемая доля заболевших после прививки будет той же, что и ожидаемая доля заболевших среди тех, кому прививку не делали; общее значение этих долей совпадает с долей заболевших во всей выборке, а именно . Эти ожидаемые доли представлены в табл. 7.5.2. Мы, естественно, отождествляем понятие независимости высказываний:

а) случайно выбранный представитель из группы людей с прививкой будет инфецирован и б) случайно выбранный представитель из группы непривитых людей будет инфецирован с понятием однородности для ожидаемых долей.

При нулевой гипотезе ожидаемая частота в любой ячейке может быть найдена умножением доли или на маргинальное общее число соответствующей строки (1630 для категории привитых, 1033 для остальных). Это приводит к таблице ожидаемых частот.

Таблица 7.5.2. (см. скан) Ожидаемые доли заболевших людей при гипотезе, что прививка неэффективна

Таблица 7.5.3. (см. скан) Ожидаемые частоты, соответствующие табл. 7.5.2

Только один элемент следует вычислять умножением маргинальной частоты на ожидаемую долю; остальные элементы находятся вычитанием.

Значение (без поправки на непрерывность). Располагая вместе в виде таблицы наблюденные и ожидаемые частоты, запишем в каждую ячейку: наблюденную частоту, (ожидаемую частоту), [разность]. Таким образом, прямые вычисления позволяют получить следующую величину статистики Пирсона:

Таблица 7.5.4. (см. скан) Наблюденные частоты, ожидаемые частоты и разности

Число степеней свободы Вычисление ожидаемых частот неявно включало оценку двух параметров. Так, например, вероятность того, что индивидуум с прививкой не заболеет, равна (при нулевой гипотезе) произведению где — вероятность того, что случайно выбранный индивидуум будет иметь прививку (оцененная как — вероятность того, что случайно выбранный индивидуум не заболеет (оцененная как Оцененная ожидаемая частота в ячейке «привитые и незаболевшие» будет тогда равна: Поскольку ожидаемые частоты в сумме дают соответствующие наблюденные значения маргинальных частот, этого одного вычисления достаточно для того, чтобы определить ожидаемые элементы во всех четырех ячейках, и никаких дополнительных параметров не требуется [см. раздел 5.4.2].

Число степеней свободы тогда равно:

Поправка на непрерывность. В точном критерии для проверки гипотезы независимости, описанном в разделах 5.4.1 и 5.4.4, уровень значимости является суммой вероятностей (при нулевой гипотезе) получения ряда таблиц 2x2, а именно той таблицы, которая реально наблюдалась, плюс все таблицы с теми же маргинальными частотами, но еще более далекие от независимости. Поясним, что такое

«более далекие» таблицы. В нашем примере ожидаемые частоты при нулевой гипотезе [см. табл. 7.5.3] равны:

а наблюденные частоты следующие:

5 случаев заболевания после прививки — это малая частота (меньше ожидаемой) и упомянутые выше более далекие случаи были бы представлены таблицами с 4, 3, 2, 1 и 0 заболевшими после прививки. Поскольку маргинальные числа должны остаться теми же, эти таблицы образуют следующее множество:

Так как имеется только одна степень свободы, мы должны рассмотреть только один элемент в каждой таблице, скажем, элемент в верхнем правом углу, представляющий категорию «заболевших после прививки». Уровень значимости относительно гипотезы независимости тогда равен

где вероятность того, что после прививки заболеют человек, . В примере 5.4.4 получены вероятности и найдена их сумма. При -аппроксимации выборочное распределение непрерывно и сумму следует заменить интегралом. Мы можем изобразить отдельные вероятности ординатами, показанными на рис. 7.5.1, или же прямоугольниками, показанными на рис. 7.5.2. Эти прямоугольники имеют ширину, равную 1, и, следовательно, сумма численно равна общей площади прямоугольников, т. е. интегралу от соответствующей ступенчатой функции в пределах Прямоугольник, соответствующий имеет очень малую площадь, поэтому на практике не важно, берется ли интеграл от —0,5 до 5,5 или от 0 до 5,5. Важно то, что правая точка 5,5, а не 5. Ф. Йейтс [см. Yates (1934)] предложил в связи с этим заменять таблицу наблюденных частот

модифицированной таблицей

в которой число 5 увеличено до 5,5, а все другие элементы изменены так, чтобы сохранить общие маргинальные частоты. При такой модификации ожидаемые частоты остаются без изменения. Эта процедура

Рис. 7.5.1. (см. скан) Ординаты, представляющие Сумма этих ординат равна уровню значимости данных относительно гипотезы независимости

Рис. 7.5.2. (см. скан) Прямоугольники единичной ширины с высотами, равными ординатам на рис. 7.5.1. Сумма ординат численно равна сумме площадей прямоугольников, т. е. интегралу от — 0,5 до 5,5 от ограничивающей ступенчатой функции

известна как поправка Йейтса на непрерывность для критерия для таблиц Перед вычислением следует уменьшить на 0,5 абсолютную величину разности между каждой из наблюденных и ожидаемых частот. В нашем случае это приводит к уменьшению абсолютной величины (4,79) этих расхождений [см. табл. 7.5.4] до величины 4,29. Модифицированная таблица имеет вид:

Модифицированная величина равна:

Уровень значимости. Поскольку разности между ожидаемыми частотами и скорректированными на непрерывность наблюденными частотами при вычислении статистики Пирсона возводятся в квадрат, величина полученная в (7.5.4), могла также быть вычислена из таблицы

которая имеет те же маргинальные частоты и поэтому те же ожидаемые частоты, но в которой каждая разность имеет обратный знак. Например, -4,79 превращается в +4,79 и наоборот. Следовательно, если мы возьмем в качестве нашего уровня значимости вероятность

то должны будем принять во внимание не только сумму Р, вероятностей для таблицы наблюденных частот, но также и сумму вероятностей «обращенной» таблицы и всех более крайних таблиц. Это изменит уровень значимости, так как нас интересует только сумма

Чтобы выделить интересующую нас вероятность, заметим, что имеет то же распределение, что и квадрат стандартной нормальной случайной величины [см. раздел 2.5.4, а)], откуда

так как имеет то же распределение, что и Здесь слагаемое соответствует одному набору разностей, — набору с обратными знаками. Таким образом, наш уровень значимости равен:

В нашем примере найдено в (7.5.4) и равно Таким образом, уровень значимости (точная величина, найденная в примере 5.4.4, равна 0,015). Вывод состоит в том, что гипотезу независимости следует отвергнуть: прививка в действительности имеет некоторый предупредительный эффект.

Условия Кокрена применимости критерия к таблицам 2x2. Рекомендация Кокрена для таблиц состоит в следующем [см. Cochran (1952), (1954)]. Если сумма четырех частот меньше 20, то следует использовать точный критерий Фишера [см. раздел 5.4.2]. Если сумма между 20 и 40 и наименьшая ожидаемая частота меньше 5, то следует использовать точный критерий Фишера. Если сумма 40 или более, то можно применить критерий при условии, что сделана поправка на непрерывность.

Следующий пример показывает, что даже эта рекомендация не универсальна. В примере сумма четырех частот равна лишь 30, но

в то же время процедура коррекцией на непрерывность) дает приемлемую аппроксимацию к точному результату, полученному в примере 5.4.5.

Пример 7.5.1. Преступность и близнецы. Данные относятся к 30 преступникам мужского пола, каждый из которых имел брата близнеца. Тридцать человек были классифицированы: а) по природе родства (однояйцовые или разнояйцовые близнецы) и б) по виновности или невиновности брата. Результаты представлены в табл. 7.5.5.

Таблица 7.5.5 (см. скан)

Непосредственное вычисление ожидаемых частот в предположении отсутствия связи между природой родства и преступностью близнеца приводит к следующим ожидаемым частотам:

(см. скан)

Статистика Пирсона, вычисленная непосредственно по этим данным, равна

Применение поправки на непрерывность, которая уменьшает абсолютную величину разности между наблюденной и ожидаемой частотой в ячейке на 0,5, приводит к скорректированной величине статистики:

Ясно, что требуется односторонний критерий, и соответствующий уровень значимости поэтому равен:

Этот результат хорошо соотносится с величиной 0,0005, полученной по точному критерию. Он является высоко значимым и решительно отвергает нулевую гипотезу.

1
Оглавление
email@scask.ru