5.2.6. ВЫБОР СТАТИСТИКИ КРИТЕРИЯ

Ниже приводится пример, в котором статистика критерия подбирается более явно, чем в примерах 5.2.1 и 5.2.2.

Пример 5.2.3. Проверка гипотезы о параметре экспоненциального распределения. Предположим, что имеется реализаций экспоненциально распределенной случайной величины X [см. II, раздел 11.2] с плотностью Нужно проверить нулевую гипотезу Н, в соответствии с которой против односторонней альтернативы Функция правдоподобия имеет вид откуда оказывается достаточной статистикой для в [см. раздел 4.13.1]. Это наводит на мысль, что или подходящее преобразование статистики можно было бы использовать в качестве статистики критерия. Выборочное математическое ожидание равно так что измеряется в тех же единицах, что и будет хорошей оценкой в: при Н большие значения неправдоподобны, но они более вероятны, когда справедлива альтернатива. Итак, х — подходящая статистика критерия.

Чтобы найти уровень значимости, нужно знать выборочное распределение х. Плотность выборочного распределения определяется формулой [см. раздел 2.4]

Таблицы соответствующей функции распределения не всегда доступны, но случайная величина имеет плотность

т. е. подчиняются распределению хи-квадрат с степенями свободы [см. II, раздел 11.2.2, 11.4.11]. Таблицы соответствующей функции распределения вполне доступны. (Здесь ) Уровень значимости среднего выборки равен

(где X обозначает случайную величину, индуцированную статистикой

(где )

при этом подчиняется распределению хи-квадрат с степенями свободы.

С очевидными изменениями эти принципы применимы, когда альтернатива имеет вид Предположим, например, что суммарная продолжительность работы 18 электрических лампочек (допустим, что продолжительность подчинена экспоненциальному распределению) с номинальным сроком эксплуатации 100 часов составила 1500 часов. Здесь значение параметра в при нулевой гипотезе , а уровень значимости равен:

Стандартные таблицы распределения хи-квадрат [см. приложение (6)] дают

откуда

так что

В частности, уровень значимости превышает 0,20, следовательно, результаты не значимы. Данные не позволяют отвергнуть гипотезу, что средняя продолжительность работы лампочки равна 100 часам.

[В этом примере достаточны и неравенства (5.2.11а). Линейная интерполяция дала бы Однако если бы требовался более точный результат, то нужно было бы или воспользоваться более детальными таблицами, или применить подходящее преобразование, приводящее к случайной величине с более детально табулированным распределением. Наиболее известное из таких преобразований при [см. раздел 2.7.3, в)] дает следующее хорошее приближение с помощью стандартной нормально распределенной случайной величины

где

При например, находим так что обеспечиваемый приближением (5.2.12) уровень значимости равен 0,026. Точное же значение равно 0,025].