6.2.4. ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ: ТИПЫ МАКСИМУМОВ

Типичные графики функции правдоподобия, зависящей от одного параметра, показаны на рис. 6.2.7.

На рис. 6.2.7, а) представлен «регулярный» случай: является непрерывно дифференцируемой функцией и ее максимум достигается в точке, для которой На рис. 6.2.7, б) максимум достигается в крайней точке пространства параметров Этот максимум не может быть найден путем дифференцирования и решения уравнения правдоподобия. Рис. 6.2.7, в) — аналог рис. 6.2.7, а), рис. 6.2.7, г) — аналог рис. 6.2.7, б) для случая, когда параметрическое пространство дискретно. Примеры этих ситуаций будут рассмотрены ниже.

Следует с особой осторожностью выбирать метод для поиска максимума, адекватно соотносить его с видом функции правдоподобия. «Регулярный» случай наиболее типичен для практики. Здесь максимум

находят в результате дифференцирования функции правдоподобия. В условиях простой случайной выборки, т. е. когда наблюдения н.о.р. и п.р.в. имеет вид (6.2.5), т. е. функция правдоподобия пропорциональна , дифференцирование облегчается, если сначала перейти к логарифмам. Логарифм функции правдоподобия равен:

при этом важно, что уравнение имеет те же корни, что и уравнение правдоподобия. В принципе можно использовать логарифмы по любому основанию, на практике же чаще всего работают с основанием (натуральные логарифмы). В этой главе запись подразумевает натуральный логарифм [см. пример 6.2.6].