Двойственные схемы

Отрицание (инверсия) произвольной схемы может быть найдено при помощи теоремы де Моргана, но схема должна быть предварительно преобразована в эквивалентную параллельно-последовательную (если она не является схемой этого типа).

Рис. 15. Плоская схема для иллюстрации теоремы двойственности.

Рис. 16. Схема, двойственная схеме, изображенной на рис. 15.

Докажем теорему, при помощи которой можно непосредственно найти инверсию любой плоской двухполюсной схемы. В качестве следствия будет дан метод нахождения схемы с постоянным током, эквивалентной данной схеме с постоянным напряжением.

Пусть — плоская схема с функцией сопротивления между полюсами находящимися вне схемы. Для определенности рассмотрим схему, изображенную на рис. 15 (где сопротивления изображены просто отрезками).

Пусть теперь М — схема, двойственная схеме и построенная при помощи следующего процесса: для каждого контура или ячейки схемы выделен узел схемы М; каждому элементу схемы разделяющему ячейки и поставлен в соответствие элемент соединяющий узлы и схемы М; область, внешняя к должна рассматриваться как две ячейки, которым соответствуют полюсы схемы М. Так, схемой, двойственной схеме, изображенной на рис. 15, является схема, изображенная на рис. 16.

Теорема. Если схема М двойственна схеме то

Чтобы доказать это, предположим, что М наложена на так, что узлы схемы М лежат в соответствующих ячейках схемы а соответствующие элементы пересекаются. Для схемы, изображенной на рис. 15, это показано на рис. — сплошной линией, М — пунктиром. Заметим, что самым простым методом нахождения двойственной схемы (как для схем этого типа, так и для схем с

конечными сопротивлениями) является метод, использующий наложение искомой схемы на заданную. Тогда, если то в схеме должна существовать цепь от а к такая, что каждый элемент на ней равен нулю. Но эта цепь рассекает схему М между полюсами так что вдоль нее каждый элемент схемы М равен единице.

Рис. 17. Наложение двойственной схемы на заданную.

Следовательно, Аналогично, если то , следовательно,

Из этой теоремы, очевидно, вытекает, что инверсия плоской схемы может быть построена с тем же числом элементов, что и заданная схема.

Рис. 18. Неплоская схема.

В релейной системе с постоянным напряжением все реле соединены параллельно. Реле срабатывает при замыкании части схемы, включенной с ним последовательно. Общий вид схемы с постоянным напряжением показан на рис. 19. В схеме с постоянным током все реле соединены последовательно. Для отпускания реле его обмотка замыкается накоротко. На рис. 20 изображен общий вид схемы с постоянным током, соответствующей схеме, изображенной на рис. 19. Если реле на рис. 20 должно срабатывать только тогда, когда сработало реле на рис. 19, то, сопротивление, параллельное должно быть инверсным по отношению к

сопротивлению включенному последовательно с обмоткой реле Если это верно для всех реле, будем говорить, что схемы с постоянным током и постоянным напряжением эквивалентны.

Рис. 19. Общий вид релейной схемы с постоянным напряжением.

Рис. 20. Общий вид схемы с постоянным током.

Рис. 21. Простая система с постоянным напряжением.

Рис. 22. Система с постоянным током, эквивалентная системе, изображенной на рис. 21.

Приведенная выше теорема может быть использована для нахождения эквивалентных схем такого рода, так как если построить схемы и М, двойственные в указанном смысле, в которых элементы будут соответствовать друг другу (см. рис. 19 и 20), то условия будут выполнены. Простой пример этого показан на рис. 21 и 22.