5. Формулы для скорости передачи R как функции угла конуса

Наши границы вероятности ошибки выражаются через угол конуса такой, что телесный угол этого конуса равен полному телесному углу сферы, умноженному на Чтобы связать эти величины более явно, найдем телесный угол -мерного конуса с полууглом Это означает вычисление площади -мерной поверхности, вырезаемой конусом на единичной сфере, как показано на рис. 2. Она получается суммированием вкладов от отдельных кольцевых элементов площади, заключенных между сферической -мерными поверхностями радиуса и радиуса Таким образом, общая площадь «шапки» равна

Здесь было использовано то обстоятельство, что площадь -мерной сферы радиуса задается формулой

Чтобы получить простые неравенства и асимптотические выражения для произведем замену переменных в интеграле, введя Пусть Предположим, что так что

Рис. 2. «Шапка», вырезаемая из конуса единичной сферы.

Используя теорему о среднем значении, получим

где Слагаемое должно лежать в пределах между 0 и так как оно является монотнно возрастающей функцией. Поэтому имеем неравенства

при Заметим, что отрицательно, так что поправочный член в левой части имеет нужный знак. Если воспользоваться этим в интеграле, выражающем получим

Поэтому асимптотически совпадает с выражением в правой части при

Площадь поверхности -мерной сферы единичного радиуса равна поэтому

Подставляя асимптотическое выражение для гамма-функции, получим

Итак,

При отыскании асимптотического значения для необходимо применять более точное выражение для так как изменяется в некоторое количество раз, когда изменяется, например, на Однако, если нас интересует лишь надежность Е, можно использовать простейшее соотношение