6. Асимптотические формулы для ...

На рис. начало координат, — соответствующая точка кодового слова, а плоскость рисунка является плоским сечением -мерного пространства. Линии О А и представляют собой конус (круговой) с углом вокруг (т. е. являются пересечением конуса плоскостью рисунка). Линии соответствуют несколько большему конусу с углом Требуется оценить вероятность того, что точка 5 под действием шума попадет в область, лежащую между этими конусами. Далее, используя эту оценку, мы вычислим вероятность попадания точки 5 в область вне конуса с углом Желательно в обоих случаях иметь асимптотическую оценку, простые формулы, отношение которых к истинному значению стремится к 1 при возрастании числа измерений Шум сдвигает независимо и нормально с дисперсией, равной 1, все координаты. Он приводит к сферическому гауссовому распределению в -мерном пространстве. Плотность вероятности смещения точки на расстояние равна

Рис. 3. Сечение плоскостью конуса с полууглом раствора 0,

где — элемент объема. Прежде всего вычислим плотность вероятности (см. рис. 4) для заштрихованной области кругового кольца между двумя конусами и двумя сферами радиуса с центрами в начале координат.

Рис. 4. Специальное значение 0в.

Расстояние до этого кольца из точки равно, согласно «теореме косинусов»,

Дифференциальный объем области кругового кольца равен произведению и величины поверхности -мерной сферы радиуса т. е.

Следовательно, дифференциальная вероятность попадания в область кругового кольца равна

Дифференциальная вероятность попадания в область между двумя конусами равна интегралу по от этого выражения от нуля добесконечности

В экспоненте можно представить в виде тогда числитель дает полный квадрат

а член можно вынести за знак интеграла. Получаем

Теперь можно прямо приступить к оценке интеграла, который мы обозначим через можно точно выразить в. виде конечной, но сложной суммы, включающей функции нормального распределения, возникающие при последовательном интегрировании по частям. Однако нас интересует получение простых асимптотических форм

для интеграла, когда . Эта задача полностью решена Девидом и Крускалом, которые доказали в качестве леммы следующую асимптотическую формулу:

при следующих условиях: фиксировано,

Доказательство основывается на том, что основной вклад в значение интеграла вносится в окрестности точки где подинтегральное выражение обращается в максимум. Вблизи этой точки, когда велико, подинтегральная функция ведет себя как нормальное распределение.

Интеграл К в формуле (34), который требуется вычислить, с точностью до множителя совпадает с интегралом леммы при Интеграл приобретает вид

Имеем

Подставляя

имеем

так что

Итак

так как, возводя в квадрат, находим, что Группируя слагаемые, получим

так как с помощью простых алгебраических преобразований можно показать, что слагаемые

в экспоненте взаимно уничтожаются. Коэффициент перед интегралом в формуле (34) при использовании асимптотического выражения для асимптотически равен

Комбинируя этот результат с предыдущими и группируя слагаемые (легко найти, что ), имеем

Это и есть искомое асимптотическое выражение для плотности вероятности

Как установлено, коэффициент растет в основном как однако имеется еще член вида где

Можно показать, что если использовать для 0 специальное значение (см. рис. 4), то также Таким образом, для этого значения

и два слагаемых в логарифме взаимно уничтожаются. Далее

Имеем также

После значительных алгебраических преобразований слагаемое упрощается и оказывается равным

Подставляя его и другие слагаемые, получим

Суммируя и группируя слагаемые, упростим выражение, получив

Заметим, что выражение в скобках является монотонно возрастающей функцией , принимающей значение — 1 при при Согласно ранее сказанному, так что отсюда следует, что для для

Из этого вытекает, что в области от до когда минимум достигается при наименьшем в этой области значении 0, т. е. в Экспоненциальный член, входящий в оценку , а именно имеет для этой области максимум в точке . В самом деле, для достаточно больших максимум вышеуказанного выражения (45) должен быть вблизи поскольку присутствие в экспоненте оказывает преобладающее влияние по сравнению с коэффициентом. Если обозначить этот коэффициент через и положить

то

и, так как то при достаточно большом отрицательно и единственный максимум находится в . В окрестности функция экспоненциально убывает.

Теперь можно найти асимптотическую формулу для интеграла

Разбив интеграл на две части, получаем

На интервале определения первого интеграла можно сделать сколь угодно малым, выбирая достаточно большим. Это является следствием непрерывности и не обращения в нуль на указанном интервале. Используя разложение в ряд Тейлора с остаточным членом, имеем

где находится в интервале между и 0. При возрастании максимальное значение остаточного члена, ограниченное величиной

стремится к нулю. Следовательно, первый интеграл асимптотически овпадает с

так как при больших слагаемое, соответствующее верхнему пределу, сравнительно мало. Второй интеграл в пределах от до можно мажорировать значением подинтегральной функции в точке умноженной на интервал интегрирования

(так как подинтегральная функция является монотонно убывающей при больших Значение подинтегральной функции в точке в соответствии с развитыми соображениями асимптотически стремится к величине

малой по сравнению с первым интегралом [так как в (47)]. Подставляя выражение для и заменяя на 0, получаем, асимптотическое выражение для

Это выражение дает асимптотическую нижнюю границу для получаемую вычислением для такого, что

Заметим, что асимптотическое выражение (51) можно преобразовать в асимптотическую формулу для функции нецентрального -распределения подстановкой

Это может быть полезным в других случаях применения нецентрального -распределения.