Приложение. Верхние оценки для вероятностей ошибок в случае гамакообразных l-w-схем

В нашем основном методе синтеза для получения требуемой надежности использовалась гамакообразная схема три-на-три и ее итерация с собой несколько раз, если это было необходимо. На основании этого метода были легко получены верхние оценки вероятностей ошибок. Возможно, однако, что более эффективным является применение итераций гамакообразных схем больших размеров.

Покажем, что если значения заданы в прежнем смысле, то для гамакообразной схемы длины и ширины имеем неравенства

Рис. 20. (см. скан) Бесконечная гамакообразная схема.

При малых правые части этих неравенств приблизительно равны .

Для доказательства этих неравенств рассмотрим сначала бесконечную схему, изображенную на рис. 20. Все наклонные отрезки изображают на ней контакты, для каждого из которых вероятность быть замкнутыми равна

Схема предполагается неограниченно продолженной вверх, вниз и вправо.

Вертикальная линия слева изображает замыкание накоротко. Пусть — вероятность того, что один из узлов на расстоянии 1 от будет соединенным с линией Аналогично — такая же вероятность для расстояния 2 и — для расстояния Требуется найти верхнюю оценку для

На рис. 21 узел а, находящийся на расстоянии будет соединен с если узел соединен с и контакт замкнут; или если

узел с соединен с и контакт замкнут; или если узел соединен с и контакт замкнут; или если узел соединен с и контакт замкнут. Верхняя оценка вероятности первого из этих четырех случаев есть То же самое верно для второго случая.

Рис. 21. Один узел бесконечной гамакообразной схемы.

Последние два случая имеют верхние оценки Если их сложить, наша оценка вероятности только увеличится (так как одновременно могут иметь место оба эти случая). Поэтому можно написать

Очевидно, что Используя это, получаем из предыдущего неравенства

Это соотношение, если вспомнить, что дает

Можно, однако, пользуясь любопытным итеративным методом, получить лучшую оценку для Именно из неравенства (22) получается Подставляя эту оценку для в неравенство (21), имеем

Это неравенство снова можно использовать для улучшения оценки. Чтобы найти результат бесконечного приближения в этом процессе, допустим, что на шаге имеем соотношение

Подставляя его в неравенство (21), получаем

и, следовательно,

Эта гиперболическая зависимость между и представлена на рис. 22.

Рис. 22. Процесс итерации, используемый для улучшения оценки.

Если то гипербола пересекает прямую в двух точках, абсциссы которых являются корнями уравнения

Нижняя точка пересечения, соответствующая корню является неподвижной точкой этого итеративного процесса. Начиная с любого лежащего между нулем и единицей, будет стремиться в пределе к этому корню «ступенчатым образом», как показано на рис. 22. Отсюда следует, что

и, следовательно,

Рассмотрим теперь гамакообразную схему с размерами и Ее можно мысленно разбить на две части, как это изображено на рис. 23.

Рис. 23. Гамакообразная схема с размерами и разделенная на две части.

Вероятность замыкания такой схемы оценивается неравенством

Последний член имеет вид или в зависимости от того, четно или нечетно. В этом выражении есть вероятность того, что левая половина схемы замкнута до узла сверху в самом правом ряду. Множители являются вероятностями замыкания двух параллельно соединенных контактов. Члены суммы поэтому соответствуют различным способам замыкания схемы. Если их сложить, то получится верхняя оценка вероятности.

Ясно, что каждое так как можно получить схему рис. 20 из левой части рис. 23 путем добавления контактов, которые, конечно, только увеличивают вероятность замыкания. Следовательно, из неравенства (23) вытекает, что

Используя это неравенство, а также усиливая его отбрасыванием отрицательных членов с приходим к искомому результату

Двойственной к гамакообразной схеме с размерами и является гамакообразная схема с размерами и . В силу двойственности получаем

Можно заметить, что для малых а и 1 — с эти верхние оценки становятся приблизительно равны Мы предполагаем, но не можем доказать, что для всех а и с