6. Проблема чистого предсказания

Теперь рассмотрим другой специальный случай — отсутствие искажающего шума. Это чистое предсказание того, какова лучшая оценка когда известно от до О?

Было показано, что решение должно зависеть только от спектра мощности сигнала и шума, и так как предполагается, что шум тождественно равен нулю, решение зависит только от спектра мощности сигнала. Если это так, то можно заменить действительный сигнал любым другим, имеющим тот же самый спектр; решение задачи о наилучшем предсказывающем фильтре останется для измененной таким образом задачи прежним.

Любой желаемый спектр может быть получен при прохождении широкополосного шума сопротивления или белого шума через формирующий фильтр, характеристика усиления которого есть Спектр шума сопротивления плоский (по крайней мере вплоть до частот, высших, чем любые частоты, имеющие применение в связи), и фильтр просто умножает этот постоянный спектр на квадрат усиления фильтра Фазовая характеристика этого фильтра может быть выбрана любым способом, согласующимся с условием физической осуществимости. Выберем фазовую характеристику так, чтобы фильтр был минимально-фазовым для усиления Тогда фильтр будет иметь фазовую характеристику, определяемую как

Более того, этот минимально-фазовый фильтр имеет физически осуществимый обратный.

Задача сведена к форме, показанной на рис. 5. В нашем распоряжении имеется функция вплоть до Это эквивалентно знанию шума сопротивления до так как фильтр имеет физически осуществимое обращение и можно пропустить имеющийся сигнал через обращение для получения

Поэтому задача формулируется следующим образом: как наилучшим способом обработать чтобы аппроксимировать в смысле наименьших квадратов. Эта задача легко решается. Шум сопротивления можно представлять себе как совокупность большого числа близко расположенных и очень коротких импульсов, как показано на рис. 6. Импульсы имеют гауссовское распределение амплитуд и статистически независимы.

Рис. 5. Построение спектра сигнала из белого шума.

Каждый из этих импульсов, поступая на фильтр У, образует реакцию, соответствующийимпульсной реакции фильтра, как показано на рис. 6, и сигнал является суммой этих элементарных откликов.

Что нам известно, так это вплоть до данного момента, т. е. эффективно известны импульсы до и ничего не известно о них после (они еще не возникли).

Рис. 6. Результат «воздействия» белого шума на входе.

Будущий сигнал таким образом, состоит из двух частей: хвостов реакций на импульсы, которые уже прошли, и части, обусловленной теми импульсами, которые должны поступить на фильтр за время от до Первая часть полностью предсказуема, тогда как вторая часть полностью не предсказуема, будучи статистически независима от имеющейся у нас к текущему моменту информации.

Общий результат первой части может быть получен построением фильтра, импульсная реакция которого является хвостом импульсной реакции фильтра У, сдвинутой вперед на а секунд. Это показано на рис. 7, где является новой импульсной реакцией, а — старой. Новый фильтр реагирует на импульс, появившийся в данный момент, так, как фильтр У будет реагировать через а секунд. Если используется как входной сигнал для

этого нового фильтра то реакция будет теперь предсказуемой частью будущей реакции на тот же входной сигнал через а секунд.

Вторая, или непредсказуемая часть будущей реакции, соответствующая импульсам, которые еще не появились, конечно, не может быть построена. Однако известно, что средняя величина этой части должна быть нулем, так как будущие импульсы с одинаковой вероятностью могут иметь как один знак, так и противоположный.

Рис. 7. Построение физически осуществимой реакции по

Итак, арифметическое среднее, или центр тяжести возможных будущих реакций, есть предсказуемая часть, даваемая реакцией Но, как известно, арифметическое среднее любого распределения есть точка, относительно которой среднеквадратичное отклонение наименьшее. Таким образом, реакция является желаемым предсказанием

При построении предполагалось, что имеется в распоряжении белый шум . В действительности же данным является сигнал Следовательно, наилучшей операцией над имеющимися данными является операция множитель преобразует функцию в белый шум а второй множитель производит наилучшее предсказание, основанное на

Решение вопроса может быть суммировано следующим образом.

1. Определим минимально-фазовый фильтр, имеющий характеристику усиления Пусть комплексная частотная характеристика этого фильтра будет а его импульсная реакция

2. Построим фильтр, импульсная реакция которого

Пусть частотная характеристика этого фильтра есть

3. Оптимальный в смысле наименьших квадратов предсказывающий фильтр имеет тогда характеристику

Среднеквадратичная ошибка Е предсказания легко вычисляется. Ошибка возникает из-за импульсов, появляющихся во время от

до Так как эти импульсы не коррелированы, среднеквадратичная сумма ошибок равна сумме отдельных среднеквадратичных ошибок. Отдельные импульсы действуют при образовании среднеквадратичной ошибки пропорционально квадрату Отсюда общая среднеквадратичная ошибка дается выражением

где — средний квадрат сигнала. На том же основании средний квадрат функции равен

и относительная ошибка предсказания равна отношению среднеквадратичной ошибки к среднеквадратичному значению т. е.

Предсказание будет относительно плохим, если площадь под кривой вплоть до авелика по сравнению со с всей площадью, и хорошим, если она мала по сравнению со всей площадью. Очевидно из (26), что относительная ошибка начинается с нуля для и монотонно возрастает с а, стремясь к единице при

Существует один важный случай, в котором приведенные соображения могут дать много больше. В нашем анализе истинная задача была заменена задачей, в которой сигнал является временным рядом гауссовского типа, полученным путем пропускания шума сопротивления через фильтр с усилением Предположим, что исходный сигнал уже является временной последовательностью этого типа. Тогда ошибка в предсказании, связанная с хвостами импульсов, появляющихся между будет иметь гауссовское распределение. Это следует из того, что каждый импульс имеет гауссовское распределение, а сумма любого числа гауссовских величин будет также гауссовской величиной. Стандартное отклонение этого распределения ошибок является как раз среднеквадратичной ошибкой Е, полученной из равенства (24).

Другими словами, на основе имеющихся данных об для можно сказать, что будущее значение сигнала имеет

гауссовское распределение. Для предсказуемой величины наилучший линейный предсказатель выделит центр этого распределения. Истинное значение будущей величины будет отличаться от него, как показано на рис. 8, где будущее значение функции нанесено по горизонтали, а плотность вероятности для различных величин по вертикали.

Ясно, что в этом частном случае метод линейного предсказания является в известном смысле наилучшим из возможных. Центр гауссовского распределения останется естественной выборочной точкой, даже если заменить среднеквадратичный критерий любым другим разумным критерием, скажем медианой, наивероятнейшим значением и т. п.

Рис. 8. Распределение ошибок предсказания в случае гауссовского распределения.

Нелинейное предсказание в этом случае ничего лучшего не дает по сравнению с линейным. В общем случае, с другой стороны, распределение будущих значений не будет гауссовским и форма кривой распределения может меняться от точки к точке в зависимости от частной предыстории кривой. В этом случае нелинейная схема может дать лучшие результаты по сравнению с линейной; точные характеристики оптимальной операции будут существенно зависеть от принятого критерия для наилучшего предсказания.