2. Численный подсчет

Прямое вычисление по производящему тождеству (2) или по эквивалентному ему уравнению (1) становится громоздким даже при относительно малых значениях так как число членов равно числу разложений. Более того, вычисление ведется последовательно, каждое число зависит от предшествующих ему и ошибка накапливается; поэтому желательно иметь независимые схемы вычисления.

Ниже приводятся три схемы, используемые при подсчете числа параллельно-последовательных сетей, приведенных в табл. 1.

Таблица 1 (см. скан) Число параллельно-последовательных сетей и числа

Эти схемы тесно связаны со схемами подсчета числа разложений, принадлежащими Эйлеру и Гупта, что неявно выражено в рекуррентных формулах.

Первая схема подсчета существенно зависит от вычисления «близкого» множества чисел определяемых соотношением

где

Рекуррентная формула для этих чисел следует непосредственно из определения и имеет следующий вид:

где есть целая часть от Ясно, что где квадратные скобки означают

«целая часть от».

Заметим, что числа выражают число существенно параллельных (или существенно последовательных) сетей с элементами, которые могут быть составлены из частей, содержащих каждая не более элементов; например, существенно параллельные сети, представляемые числом суть и . Это замечание вместе с интерпретацией биномиальных коэффициентов, приведенной в разд. 1, дает интерпретацию рекуррентного соотношения (4) для сетей.

Как было указано, числа могут быть использованы для подсчета непосредственно, однако они более эффективно используются в следующей формуле:

где

Интерпретация этого равенства для сетей лучше видна из эквивалентной формулы

Таким образом, полное число сетей с элементами складывается из существенно последовательных сетей с элементами, числа существенно параллельных сетей, построенных путем составления всех существенно последовательных сетей из элементов со всеми сетями из элементов изменяется от 1 до наименьшего из чисел сетей, описанных выше.

Это в основном все, что используется в так называемом подсчете по Эйлеру.

Подсчет по Гупта основывается на разделении разложений на классы, соответствующие величине наименьшей части; например, если разложение числа с наименьшей частью обозначить через тогда классами для будут

Рекуррентные формулы для числа сетей соответствующих классов получаются подходящей модификацией процесса, данного Гупта; так, например, если единица вычеркнута из всех разложений в то результат есть в точности Отсюда

Подобным образом

Вообще

где

Другая форма соотношения (6), получаемая итерацией и более простая чем (6), для малых значений и больших значений имеет вид

Надо отметить, что в этой сумме появляются пустые члены, если

Третья схема подсчета состоит в определении третьего множества чисел определяемых так:

Сопоставляя это определение с производящей функцией Мак-Магона и с равенством (2), получаем

где по определению равно единице.

Рекуррентная формула для этих чисел имеет вид

где, как и выше, определяются аналогично Заметим, что Эти числа включены в табл. I .