Главная > Работы по теории информации и кибернетики (1963)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Синтез схем, реализующих симметрические функции

Было показано, что любой формуле в точности соответствует параллельно-последовательная схема. Однако параллельно-последовательная реализация может требовать больше элементов, чем некоторые другие схемы, реализующие ту же функцию. В этом разделе будет дан метод построения схем, реализующих функции некоторого

типа, которые, вообще говоря, значительно более экономны по числу элементов, чем наилучшие параллельно-последовательные схемы. Эти функции известны под названием симметрических и часто встречаются в релейных схемах.

Определение. Функция переменных называется симметрической по этим переменным, если перестановка переменных приводит к функции, тождественной данной.

Так, симметрична по переменным X, Y и Z. Так как любая перестановка переменных может быть получена последовательными перестановками двух переменных, то необходимое и достаточное условие симметричности функций состоит в том, что любая перестановка двух переменных оставляет функцию неизменной.

Надлежащим выбором переменных многие функции, кажущиеся несимметрическими, могут быть сделаны симметрическими. Например, хотя и не является симметрической по X, Y и Z, оказывается симметрической по X, Y и Z. Иногда также возможно несимметрическую функцию представить в виде произведения или суммы симметрической функции и переменной (или переменной с отрицанием). В этом случае симметрическая часть может быть реализована методом, который будет описан, а дополнительный член присоединен параллельно или последовательно.

Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема. Для того чтобы некоторая функция была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было задать множеством целых чисел таких, что функция обращается в нуль тогда и только тогда, когда число переменных, имеющих значение 0, совпадает с одним из этих чисел.

Это легко вытекает из определения. Множество может быть любым множеством целых чисел от 0 до где — число переменных симметрической функции. Условимся их называть -числами функции. Симметрическая функция имеет а-числа 2 и 3, так как функция равна нулю только тогда, когда две или три переменные равны нулю. Чтобы найти а-числа данной симметрической функции, необходимо только вычислить значение функции, когда переменных равны нулю. Те числа, при которых результат есть нуль, являются а-числами функции.

Теорема. Существует симметрических функций от переменных.

Это следует из того, что имеется чисел, каждое из которых может быть взято (или не взято) в качестве а-числа. Однако две из этих функций тривиальны, а именно те, для которых выбраны все числа или не выбрано ни одно число. Это дает функции 0 и 1 соответственно. Симметрическую функцию от «переменных с а-числами будем в дальнейшем обозначать через Например, рассматриваемая нами функция будет обозначаться через Конструкция схемы, реализующей любую симметрическую функцию, основана на -числах, и предполагается, что эти числа известны.

Теорема. Сумма двух симметрических функций от одних и тех же переменных есть симметрическая функция от этих переменных, имеющая в качестве -чисел те числа, которые являются а-числами для обеих функций.

Так,

Теорема. Произведение двух симметрических функций от одних и тех же переменных есть симметрическая функция от тех же переменных, имеющая в качестве -чисел а-числа как одной, так и другой функции.

Так,

Для доказательства этих теорем достаточно заметить, что произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, а сумма равна нулю, только если оба члена равны нулю.

Теорема. Отрицание симметрической функции от переменных есть симметрическая функция от этих же переменных, имеющая своими а-числами все числа от 0 до включительно, не являющиеся а-числами заданной функции.

Так,

Прежде чем рассмотреть синтез схемы для любой симметрической функции приведем простой пример.

Предположим, что надо реализовать функцию Это значит, что требуется построить схему, которая будет замкнута, если две переменные равны нулю, и разомкнута, если ни одной, одна или три переменных равны нулю. Такая схема изображена на рис. 23. Эта схема может быть разделена на три яруса, каждый от

одной переменной, и четыре уровня, помеченных справа числами 0, 1, 2 и 3. Полюс соединен с уровнями, соответствующими -числам реализуемой функции, в данном случае — с уровнем, помеченным цифрой 2. Напряжение подается на полюс а. Если то напряжение переключается на уровень, помеченный цифрой 1, что соответствует равенству нулю одной переменной. Если то напряжение остается на прежнем уровне (полюс а лежит на нулевом уровне).

Рис. 23. Схема, реализующая

Затем переходим к переменной Если то напряжение переключается на следующий уровень, если же то напряжение остается на том же уровне. Таким же образом действует ярус, соответствующий переменной

Рис. 24. Упрощение схемы, изображенной на рис. 23.

Достигнув в конце концов полюсов, расположенных справа, напряжение будет подключено к уровню, номер которого совпадает с общим числом переменных, равных нулю. Так как полюс соединен с уровнем с пометкой 2, то схема будет замкнута тогда и только тогда, когда 2 из переменных равны нулю. Если бы рассматривалась функция полюс надо было бы соединить с уровнями 0 и 3. На рис. 23 некоторые из элементов, очевидно, лишние. Схема может быть упрощена до вида, изображенного на рис. 24.

Реализация произвольной симметрической функции осуществляется аналогичным образом: в общей схеме для переменных, изображенной на рис. 25, полюс соединяют с уровнями, соответствующими -числам заданной симметрической функции. На рис. 25 сопротивления представлены только отрезками, а буквы опущены

но сопротивление каждого отрезка можно легко усмотреть по аналогии с рис. 23. После того как полюс будет присоединен, все лишние элементы могут быть отброшены.

В некоторых случаях возможно значительно упростить схему, совмещая уровни. Пусть задана функция

Рис. 25. Схемы реализации симметрической функции Сопротивление каждого наклонного элемента равно переменной, написанной под ним; сопротивление каждого горизонтального элемента равно отрицанию этой переменной. Введенные обозначения будут использоваться и далее.

Вместо того чтобы строить схему с шестью уровнями, присоединим второй уровень к нулевому, как показано на рис. 26. На нулевом уровне тогда расположатся также третий и шестой.

Рис. 26. Схема для полученная с использованием процесса совмещения уровней.

Присоединяя полюс к этому уровню, получим реализацию функции с большой экономией элементов. Отбрасывая элементы, не являющиеся необходимыми, получим схему, изображенную на рис. 27. Этот метод особенно полезен, когда -числа образуют арифметическую прогрессию, хотя он может иногда применяться и в других случаях.

Функции которые, как было показано, требуют наибольшего числа элементов при параллельно-последовательной

реализации, указанным методом реализуются очень простыми схемами. Можно легко показать, что есть симметрическая функция и что, если четное, -числами ее являются все четные числа, а если нечетно, то — все нечетные числа.

Рис. 27. Упрощение схемы, изображенной на рис. 26.

Для функции имеет место обратное. Используя процесс совмещения, получим схемы, приведенные и 29.

Рис. 28. Схема для при нечетном и для при четном

Каждая из этих схем требует элементов. В них легко узнать обычную схему включения освещения из пунктов, использующую двухполюсных и два однополюсных переключателя на два направления.

Рис. 29. Схема для при четном и для при нечетном

Если в одной из этих точек меняется положение переключателя, то общее число переменных, равных нулю, изменяется на единицу, так что, если свет включен, он будет выключен, а если нет — включен.

Схемой, изображенной на рис. 25, можно реализовать несколько симметрических функций от одного и того же множества переменных, если только разные функции не имеют общих -чисел. Если имеются общие -числа, уровни могут быть совмещены или может быть добавлено дополнительное реле так, что одной схемы будет достаточно.

Универсальная схема, изображенная на рис. 25, содержит элементов. Покажем, что при любом выборе -чисел по крайней мере элементов излишни. Каждое число от 1 до включительно, которое не входит в множества -чисел, порождает два элемента, не являющиеся необходимыми; 0 и не являющиеся -числами, порождают один лишний элемент. Если два -числа отли-. чаются только на единицу, то два элемента излишни. Если имеется более.двух соседних -чисел или если два или более соседних числа не являются -числами, то каждое из них порождает более одного лишнего элемента. Тогда очевидно, что наихудшим будет случай, когда -числами являются все нечетные или все четные числа от 0 до . В каждом из этих случаев легко видеть, что элементов будут лишними. В этих случаях процесс совмещения уровней может быть применен, если так что максимальное число элементов будет необходимо только для реализации четырех функций

1
Оглавление
email@scask.ru