22. Потеря энтропии в линейных фильтрах

Теорема 14. Если ансамбль функций, имеющий энтропию на степень свободы в полосе частот пропускается через фильтр

с характеристикой то ансамбль на выходе имеет энтропию

Действие фильтра представляет собой линейное преобразование координат.

(см. скан)

Если рассматривать различные частотные компоненты как первоначальные координаты системы, то новые частотные компоненты будут просто равны исходным, умноженным на некоторые коэффициенты. Поэтому матрица преобразования координат является по существу диагональной в этих координатах. Якобиан

преобразования равен (для синусоидальных и косинусоидальных компонент)

где расположены на равных расстояниях в полосе частот В пределе это выражение превращается в

Так как — константа, то ее среднее значение равно ей самой, и, применяя теорему об изменении энтропии с изменением координат, получаем сформулированный выше результат. Можно выразить его в терминах энтропийной мощности. Таким образом, если энтропийная мощность первого ансамбля есть то энтропийная мощность второго ансамбля равна

Конечная энтропийная мощность равна начальной, умноженной на средне-геометрическое усиление фильтра. Если это усиление измеряется в децибелах, то выходная энтропийная мощность увеличится на средне-арифметическое усиление фильтра в децибелах в полосе частот

В таблице на стр. 302 потеря энтропийной мощности сосчитана (и выражена в дб) для нескольких идеализированных характеристик усиления. Приведены также импульсные отклики этих фильтров для причем предполагается, что фаза равна нулю.

Потеря энтропии для многих других случаев может быть найдена при помощи этих рассуждений. Например, коэффициент энтропийной мощности , полученный для первого случая, применим также к любой характеристике усиления, получаемой из с помощью преобразования оси сохраняющего меру. В частности, линейно возрастающее усиление или пилообразная характеристика между 0 и 1 имеют такую же потерю энтропии. Обратная характеристика имеет обратный коэффициент. Поэтому имеет коэффициент Возведение усиления в какую-нибудь степень приводит к возведению коэффициента в эту степень.