2. Параллельно-последовательные двухполюсные схемы. Основные определения и постулаты

Ограничим наше исследование схемами, содержащими только контакты реле и переключателей. Такие схемы между любыми двумя своими полюсами в каждый момент времени либо замкнуты (нулевое сопротивление), либо разомкнуты (бесконечное сопротивление). Сопоставим полюсам символ или проще X.

Рис. 1. Символическое изображение функции сопротивления.

Рис. 2. Интерпретация сложения.

Рис. 3. Интерпретация умножения.

Эту переменную функцию времени будем называть двоичным сопротивлением двухполюсной схемы Символом 0 (нуль) будем обозначать сопротивление замкнутой схемы, а символом 1 (единица) — сопротивление разомкнутой схемы. Следовательно, если схема разомкнута, то а если замкнута, то Сопротивления называются равными, если схема разомкнута тогда и только тогда, когда схема разомкнута. Пусть теперь символ (плюс) определяется в смысле последовательного соединения двухполюсных схем, при котором сопротивления

складываются. Так это сопротивление схемы полученной в результате объединения полюсов бис схем и Аналогично произведение двух сопротивлений или короче определяется как сопротивление схемы, образованной параллельным соединением схем Контакты реле или переключателей изображаются в схемах, как показано на рис. 1, где буквы — это соответствующие функции сопротивления. На рис. 2 показана интерпретация сложения, а на рис. 3 — умножения. Такой выбор символики делает операции над сопротивлениями очень похожими на обычные алгебраические преобразования.

Очевидно, что при приведенных выше определениях справедливы следующие постулаты.

1. Замкнутая схема, соединенная параллельно с замкнутой схемой, есть замкнутая схема.

Разомкнутая схема, соединенная последовательно с разомкнутой схемой, есть разомкнутая схема.

2. Разомкнутая схема, соединенная последовательно с замкнутой схемой в любом порядке (т. е. разомкнутая схема справа или слева от замкнутой), есть разомкнутая схема.

Замкнутая схема, соединенная параллельно с разомкнутой схемой (в любом порядке), есть замкнутая схема.

3. Замкнутая схема, соединенная последовательно с замкнутой схемой, есть замкнутая схема.

Разомкнутая схема, соединенная параллельно с разомкнутой схемой, есть разомкнутая схема.

4. В каждый момент либо либо

Этих постулатов достаточно, чтобы вывести все теоремы, которые будут использованы в связи со схемами, образованными только из последовательных и параллельных соединений. Постулаты расположены попарно, чтобы подчеркнуть двойственность между операциями сложения и умножения и константами 0 и 1. Так, если

в каком-нибудь постулате, относящемся к типу а, нули заменить на единицы, умножение на сложение и наоборот, то получится соответствующий постулат типа Этот факт очень важен. Он дает для каждой теоремы двойственную; достаточно доказать одну, чтобы установить обе. Единственный из введенных нами постулатов, отличающийся от постулатов обычной алгебры, это Тем не менее он дает возможность существенно упростить операции над нашими символами.

Теоремы

Приведем ряд теорем о способах соединения сопротивлений. Так как любая из этих теорем может быть доказана очень простым способом, приведем один пример доказательства в качестве иллюстрации. Методом доказательства является метод «полной индукции», т. е. метод проверки теоремы для всех возможных случаев. Так как в силу постулата 4 каждое переменное может принимать только значения 0 и 1, это легко сделать. Некоторые теоремы могут быть доказаны более изящно сведением к предыдущим теоремам, но метод полной индукции настолько универсален, что, вероятно, ему следует отдать предпочтение.

Например, чтобы доказать теорему , заметим, что X есть либо 0, либо 1. Если теорема следует из постулата если она следует из постулата Теорема теперь вытекает из по принципу двойственности в результате замены 0 на 1 и на .

В силу ассоциативных законов (2а) и (2b) в сумме или произведении нескольких членов скобки могут быть опущены. Символы и П имеют те же значения, что и в обычной алгебре.

Дистрибутивный закон (3a) дает возможность «развернуть» умножение и «свернуть» сумму. Двойственная теорема однако, в обычной алгебре неверна.

Определим теперь новую операцию, которую назовем отрицанием. Отрицание сопротивления X обозначается через X и определяется как переменная, равная 1, когда X равно 0, и равная 0, когда X равно 1. Если X — сопротивление замыкающего контакта реле, то X — сопротивление размыкающего контакта того же реле. Из определения отрицания сопротивления вытекают теоремы:

Аналогия с исчислением высказываний

Теперь можно доказать эквивалентность введенного исчисления некоторой элементарной части исчисления высказываний. Алгебра логики, введенная Джорджем Булем, является символическим методом вывода логических соотношений. Символы булевой алгебры допускают две логические интерпретации. При интерпретации в терминах классов переменные могут принимать не только два значения 0 и 1. Эта интерпретация называется алгеброй классов. Если, однако, символы рассматриваются как высказывания, то имеем исчисление высказываний, в котором переменные принимают только значения 0 и 1, как и рассмотренные выше функции сопротивления. Обычно обе интерпретации основываются на одном и том же множестве постулатов, за исключением того, что в случае

исчисления высказываний к постулатам 1—4 добавляется постулат эквивалентности, Е. В, Хантингтон дает следующую систему аксиом символической логики:

1. Класс К содержит по крайней мере два различных элемента;

2. Если принадлежат классу К, то и а принадлежит классу К;

6. , где определяется как

Если положить, что класс К состоит из двух элементов 0 и 1, то эти постулаты будут следствиями постулатов, приведенных во введении, и наоборот, приведенные там постулаты 1, 2, 3 могут быть выведены из постулатов Хантингтона. Если добавить постулат

4 и ограничиться исчислением высказываний, то становится очевидной полная аналогия между этой ветвью символической логики и исчислением переключательных схем. Обе интерпретации символов показаны в табл. I.

Благодаря этой аналогии любая теорема исчисления высказываний является также истинной теоремой, если ее интерпретировать в терминах релейных схем. Остальные теоремы данного раздела были установлены непосредственно на этой основе.

Теоремы де Моргана

выражают отрицание суммы или произведения в терминах отрицания слагаемых или сомножителей. Они могут быть проверены для двух членов подстановкой всех возможных значений, а затем методом индукции распространены на любое число переменных.

Функция нескольких переменных — это выражение, образованное из переменных при помощи операций сложения, умножения и отрицания. Такая функция будет обозначаться через Так, например, мы можем записать:

Таблица I (см. скан) Аналогия между исчислением высказываний и символическим анализом релейных схем

В анализе бесконечно малых показано, что любую функцию (при условии, что она непрерывна и все ее производные непрерывны) можно разложить в ряд Тейлора. Некоторое подобное разложение возможно и в исчислении высказываний. Чтобы вывести разложение функции в ряд, рассмотрим сначала следующие равенства

Они превращаются в тождества, если положить или . В этих равенствах функция называется разложенной по Коэффициенты при в (10а) являются функциями от

переменных и могут быть таким же образом разложены по любой из этих переменных. Аддитивные члены в также могут быть разложены таким же образом. Разлагая по получим:

Повторяя разложение раз, придем к полным разложениям в ряд, имеющим вид

Согласно равна сумме произведений, полученных путем расстановки знаков отрицаний при всеми возможными способами и умножения каждого произведения на коэффициент, равный значению функции, когда это произведение есть 1. Аналогично для

Рис. 4, Разложение по одной переменной.

В качестве приложения такого разложения покажем, что, если требуется найти схему, реализующую данную функцию, можно всегда разложить эту функцию по формуле или так, что некоторая выделенная переменная встречается не более двух раз — один раз как замыкающий и один раз как размыкающий контакт. Это показано на рис. 4. Согласно формулам (11а) и (11b) другая переменная встречается не более четырех раз (два раза как замыкающий контакт и два раза — как размыкающий) и т. д.

Обобщение теоремы де Моргана представляется символически следующим уравнением:

Под этим подразумевается, что отрицание любой функции может быть получено заменой каждой переменной ее отрицанием и перестановкой символов Явные и неявные скобки остаются, конечно, на тех же местах. Например, отрицание будет иметь вид .

Приведем некоторые другие теоремы, используемые для упрощения формул:

Все эти теоремы могут быть доказаны методом полной индукции.

Любое выражение, образованное при помощи операций сложения, умножения и отрицания, является точным представлением схемы, содержащей только последовательные и параллельные соединения. Такая схема называется параллельно-последовательной. Каждая буква в выражении такого рода представляет замыкающий, размыкающий или переключающий контакт реле или переключателя. Поэтому, чтобы найти параллельно-последовательную схему, содержащую наименьшее число контактов, необходимо преобразовать выражение к форме, содержащей наименьшее число букв. Для этого вполне достаточно теорем, приведенных выше. Небольшой навык в оперировании символами — вот все, что требуется. К счастью, большинство из этих теорем в точности такие же, как в обычной алгебре. Автор считает, что особенно полезными для упрощения сложных выражений являются теоремы 3, 6, 9, 14, 15, 16а, 17 и 18.

Часто функция может быть записана различными способами, требующими одного и того же минимального числа элементов.

В таком случае может быть выбрана любая из схем или выбор может быть продиктован теми или иными соображениями.

Рис. 5. Схема, подлежащая упрощению.

В качестве примера упрощения формулы рассмотрим схему, изображенную на рис. 5. Функцией сопротивления этой схемы будет:

Эти преобразования были произведены с помощью формулы где в качестве X последовательно бралось сначала затем X и Раскрывая скобки, получим

Схема, соответствующая этой формуле, изображена на рис. 6. Следует обратить внимание на большое сокращение числа элементов.

Рис. 6. Упрощение схемы, изображенной на рис. 5.

При графическом представлении схем обмотки реле удобно обозначать той же буквой, что и сопротивление замыкающего контакта этого реле. Так, если обмотка реле соединена с источником питания схемой, функция сопротивления которой есть X, то само реле и любой его замыкающий контакт обозначается через X. Размыкающий контакт обозначается через X. При этом предполагается, что реле срабатывает мгновенно и что одновременно замыкающий контакт замыкается и размыкающий размыкается. Случай, когда имеется задержка во времени, будет рассмотрен ниже.