7. Асимптотическое выражение для верхней границы при случайном кодировании

Найдем простое асимптотическое выражение для верхней границы из формулы (20), основанное на методе случайного кодирования. Подставляя асимптотические выражения для в асимптотическую формулу для верхней границы, получим

Теперь требуется оценить интеграл

Положение здесь аналогично положению, возникающему при оценке Пусть коэффициент при в экспоненте равен D. Заметив, что находим для его производной

Уравнение имеет единственный корень при для любого фиксированного Это следует из тех же соображений, которые использовались в связи с формулой (45) с той лишь разницей, что здесь имеется множитель 2 в слагаемом в правой части. Так, для производная является положительной, возрастающей функцией 0. После достижения максимума D оказывается убывающей функцией.

Теперь можно решать задачу оценки интеграла (53) для различных случаев, характеризующихся различными соотношениями между

Первый случай: Здесь максимум экспоненты внутри области интегрирования получается при Следовательно, если достаточно велико, максимум подинтегрального выражения имеет место в Асимптотическое значение можно оценить точно так же, как оценивалось в подобном случае. Интеграл разбивается на две части: первую от до и вторую от 0 до

В первой части асимптотическое значение подинтегрального выражения имеет вид

Интеграл асимптотически равен

Второй интеграл мал по сравнению с этим выражением, так как его можно мажорировать экспонентой с большим отрицательным показателем, умноженным на величину интервала Учитывая коэффициент

и используя соотношение

видим, что главный член приближенно равен

Сопоставляя этот результат с ранее полученным асимптотическим выражением (51), получаем для следующее асимптотическое выражение для верхней границы

Для нашей нижней границы асимптотически справедливо то же самое выражение, но без множителя в скобках. Таким образом, оба эти асимптотических выражения рознятся лишь на множитель

не зависящий от Этот множитель увеличивается, когда возрастает от величины соответствующей пропускной способности канала, до критического значения при котором знаменатель обращается

в нуль. В этих границах множитель возрастает от единицы до бесконечности. Другими словами, для больших вероятность определяется с точностью до множителя. Более того, для скоростей передачи, близких к пропускной способности канала, величина этой неопределенности стремится к нулю по мере стремления скорости передачи к значению пропускной способности канала. Очень интересно, что эти кажущиеся на первый взгляд слабыми оценки для некоторых областей значений переменных дают такую точную информацию.

Второй случай. Для в этом случае предыдущие рассуждения не пригодны, так как максимум экспоненты не находится на конце интервала интегрирования, а расположен внутри него. Этот единственный максимум получается при значении — корне уравнения Разобьем область интегрирования на три части: от 0 до от до и от до 0. Используя весьма простые соображения, видим, что в окрестности значения экспонента имеет вид

Коэффициент перед экспонентой можно считать постоянным на малом интервале интегрирования вокруг Интеграл (53) по этой части асимптотически равен

Другие два интеграла малы при больших по сравнению с вычисленным. Это видно из соображений, близких к вышеприведенным. Они оцениваются величиной подинтегральной функции на конце области вблизи помноженной на величину интервала интегрирования. В целом интеграл в (52) имеет следующее асимптотическое значение:

Другое слагаемое в интеграле (52), а именно асимптотически мало по сравнению столько что полученным для случая так как коэффициент при в экспоненте выражения в уравнении (51) меньше. Все это приводит к тому, что граница, оцененная методом случайного кодирования, асимптотически равна

для или для скорости передачи меньшей скорости передачи, соответствующей Заметим, что скорость передачи почти на полбита меньше пропускной способности канала, если и стремится к точному совпадению с ней при Для меньших значений А разность уменьшается, но отношение стремится к 4, когда