Приложение I

Покажем, что функция времени не содержащая составляющих с частотами выше герц, вполне определяется значениями в точках отсчета, расположенными на секунд друг от друга. Пусть комплексный спектр функции будет

По условию

На интервале можно разложить в ряд Фурье с коэффициентами

Так как есть преобразование Фурье для то есть обратное преобразование Фурье для :

так как равно нулю вне указанных пределов.

Если положить получим

Сравнивая (1) и (2), видим, что

Итак, если функция известна в точках отсчета

то коэффициенты определены. Эти коэффициенты определяют спектр определяют для всех значений Это значит, что существует единственная функция, не содержащая частот выше и проходящая через заданные мгновенные значения в точках отсчета, отстоящих друг от друга на

Для восстановления функции по этим мгновенным значениям заметим, что

Взяв обратное преобразование, получаем

Другими словами, функцию можно представить в форме суммы элементарных функций вида расположенных симметрично относительно точек отсчета и имеющих пиковое значение, равное в соответствующих точках отсчета. Для восстановления функции нужно лишь создать серию импульсов пропорциональных отсчетам, и сложить их.