СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНЫХ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ СХЕМ

Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

1. Введение

Теория переключательных схем может быть разделена на две основные части: анализ и синтез. Задача анализа ?— определение способа функционирования данной переключательной схемы — относительно проста. Обратная же задача — нахождение схемы, удовлетворяющей заданным условиям функционирования, и, в частности, наилучшей схемы, — задача, вообще говоря, более трудная и более важная с практической точки зрения. Основная часть общей задачи синтеза — это построение двухполюсных схем с данными условиями функционирования, и мы рассмотрим здесь некоторые аспекты этого вопроса.

Переключательные схемы могут быть изучены при помощи булевой алгебры. Это отрасль математики, впервые исследованная Джорджем Булем в связи с изучением логики и с тех пор применяемая в различных областях, таких, как аксиоматическое построение биологии, изучение нейронных сетей в нервной системе, анализ страховых полисов, теория вероятностей, теория множеств и т. д.

Возможно, простейшая интерпретация булевой алгебры и одно из ближайших приложений к переключательным схемам — это интерпретация в терминах высказываний. Буква X, например, в этой алгебре соответствует некоторому логическому высказыванию. Сумма двух букв изображает высказывание «X или Y», а произведение изображает высказывание «X и Y». Символ X

используется для изображения отрицания высказывания X, т. е. высказывания «не X». Константы 1 и 0 изображают соответственно истинность и ложность. Так, означает, что X или истинно, а означает, что X или (Y и отрицание Z) ложно.

Интерпретация булевой алгебры в терминах переключательных схем очень проста.

Рис. 1. Функция сопротивления для простых схем.

Символ X (в алгебре) интерпретируется как замыкающий (front) контакт реле или переключателя. Отрицание X (пишется X) интерпретируется как размыкающий (back) контакт того же реле или переключателя. Константы 0 и 1 интерпретируются соответственно замкнутыми и разомкнутыми схемами, а операции сложения и умножения — последовательными и параллельными соединениями соответствующих переключательных элементов, как это показано на рис. 1. При помощи этих обозначений можно написать алгебраическое выражение, соответствующее двухполюсной схеме. Это выражение, содержащее наименования различных реле, контакты которых встречаются в схеме, будем называть

сопротивлением или функцией сопротивления схемы. Простым примером является последняя схема на рис. 1.

С булевыми выражениями можно обращаться так же, как с обычными алгебраическими выражениями. Их члены можно располагать в другом порядке, перемножать, умножать на постоянные коэффициенты и комбинировать согласно всем правилам численной алгебры. Так, например, в булевой алгебре имеем следующие тождества:

Интерпретация некоторых из них в терминах переключательных схем показана на рис. 2.

Рис. 2. Интерпретация некоторых алгебраических тождеств.

Имеется также несколько особых правил булевой алгебры, которые позволяют производить упрощения выражений, невозможные в обычной алгебре. Наиболее важными из них являются:

Схемная интерпретация некоторых из них показана на рис. 3. Благодаря этим правилам операции над булевыми выражениями оказываются значительно проще, чем в обычной алгебре. Отпадает, например, необходимость в числовых коэффициентах или в показателях степени, так как

Рис. 3. Интерпретация некоторых специальных тождеств булевой алгебры.

Средствами булевой алгебры можно найти много схем, функционально эквивалентных данной схеме. Можно записать сопротивление данной схемы и преобразовывать его согласно указанным правилам. Каждое новое выражение, полученное в результате этих операций, представляет новую схему, эквивалентную данной. В частности, выражения можно преобразовать таким образом, что не являющиеся необходимыми элементы будут исключены, что приведет к упрощению схемы.

Произвольное выражение, содержащее некоторое число переменных называется функцией этих переменных и записывается в обычных функциональных обозначениях символом например,

В булевой алгебре есть несколько важных общих теорем, справедливых для любых функций. Функцию можно разложить по одному или нескольким ее аргументам следующим образом:

Это — разложение по где член — есть функция в которой вместо подставлена единица, а член — та же функция, где вместо подставлен нуль. Разложение по будет иметь вид

Этот процесс можно продолжить до получения разложения по любому числу переменных. Когда это разложение произведено для всех переменных, записывается как сумма произведений, каждое с коэффициентом, не зависящим ни от одного из переменных. Каждый коэффициент, следовательно, есть константа, либо 0, либо 1.

Подобным же образом можно разложить функцию в произведение

Следующие тождества справедливы для произвольных функций

Интерпретация некоторых из этих тождеств показана на рис. 4. Нетрудно заметить, что они справедливы для произвольных переключательных схем.

Функция сопротивления, соответствующая двухполюсной схеме, полностью описывает схему с внешней точки зрения. Можно определить, какая из двух схем разомкнута или замкнута при любом конкретном состоянии реле. Это осуществляется посредством

приписывания переменным, соответствующим возбужденным реле, значения 0 (так как тогда их замыкающие контакты замкнуты и размыкающие контакты разомкнуты), а переменным, соответствующим не возбужденным реле, — значения 1.

Рис. 4. (см. скан) Примеры интерпретации некоторых функциональных зависимостей

Например, если для функции предположить, что X и — возбужденные реле, и — невозбужденные, то и при этих условиях схема замкнута.

Функция сопротивления в точности соответствует параллельнопоследовательному типу схемы, т. е. схеме, содержащей только последовательные и параллельные соединения. Это происходит по той причине, что выражение состоит лишь из операций сложения и умножения. Однако функция сопротивления, представляющая условия функционирования (условия того, замкнута или разомкнута схема между двумя полюсами), существует для схемы любого типа, а не только параллельно-последовательной. Сопротивление схем, не являющихся параллельно-последовательными, может быть

найдено различными способами, один из которых приведен на рис. 5 для простого мостика. Сопротивление записывается в виде произведения нескольких сомножителей. Каждый из них есть сопротивление возможного пути между двумя полюсами. Дальнейшие детали, относящиеся к булеву методу, применительно к переключательным схемам можно найти в литературе, на которую мы ссылались выше.

Данная статья посвящена проблеме синтеза двухполюсной схемы, реализующей заданную функцию

Рис. 5. Сопротивление мостиковой схемы.

Для любой заданной функции имеется неограниченное число схемных реализаций, и выбор в каждом случае может быть продиктован различными соображениями. Наиболее обычными являются те или иные ограничения, накладываемые на сложность схемы, например:

1. Реализовать нашу функцию схемой с наименьшим общим числом переключающих элементов независимо от того, какие переменные они представляют.

2. Найти схему, использующую наименьшее общее число контактных пружин. Это требование иногда приводит к решению, не отвечающему предыдущему требованию, так как замыкающие и размыкающие элементы могут быть скомбинированы в переключающие элементы таким образом, что схемы, в которых они сгруппированы попарно в реле, будут удовлетворять условию 2, ко не обязательно условию 1.

3. Распределить контактные пружины между всеми реле или между реле из некоторого подмножества настолько равномерно, насколько это возможно. Можно пытаться, например, найти схему, в которой нагрузка на наиболее нагруженное реле была бы по возможности минимизирована. В общем случае можно искать схему, в которой распределение нагрузки на все реле имеет некоторый специальный вид, или, настолько, насколько возможно, близко к данному распределению. Например, если реле должно срабатывать очень быстро, тогда как не имеют существенных временных ограничений, но являются обычными реле типа

и многоконтактное реле, вероятно, можно попытаться построить схему таким образом, чтобы прежде всего минимизировать нагрузку на затем уравнять нагрузку на делая ее в то же время настолько низкой, насколько это возможно, и, наконец, нагрузить не больше, чем это необходимо. Задачи такого типа могут быть названы задачами распределения нагрузок.

Хотя все эквивалентные параллельно-последовательные схемы, реализующие данную функцию могут быть найдены при помощи булевой алгебры, схема, отвечающая любому из указанных выше ограничений, часто может не быть параллельно-последовательной. Задача синтеза схем, не являющихся параллельно-последовательными, чрезвычайно трудна. Еще труднее показать, что схема, построенная некоторым способом, является наиболее экономичной реализацией данной функции. Сложность возникает из-за того, что имеется большое число существенно различных допустимых схем и в особенности из-за отсутствия простого математического языка для описания таких схем.

Ниже дается описание нового метода синтеза, при помощи которого может быть реализована любая функция и часто с значительной экономией элементов по сравнению с другими методами, в частности, когда число переменных велико. Схемы, полученные этим методом, не будут, вообще говоря, параллельнопоследовательного типа, и фактически они будут даже не плоскими. Метод представляет теоретический интерес, а также пригоден и в практических целях; он дает возможность получить новые верхние оценки некоторых числовых функций, связанных с релейными схемами. Введем следующие определения: определяется как наименьшее число, такое, что любая функция от переменных может быть реализована схемой не более чем с элементами. Другими словами, любая функция переменных может быть реализована схемой не более чем с элементами, но найдется по крайней мере одна функция, которую нельзя реализовать схемой с меньшим числом элементов.

определяется как наименьшее число, такое, что для любой функции от переменных существует двухполюсная схема, имеющая сопротивление и использующая не больше чем элементов в наиболее нагруженном реле.

В первой части этой статьи дается общий метод синтеза схем и изучается поведение Во второй части изучаются допустимые распределения нагрузок на реле, а в третьей части рассматриваются

отдельные классы функций, которые особенно легко реализуются, и доказывается несколько теорем о переключательных схемах и функциях.