3. Свойства линейных фильтров

Для удобства в этом разделе будут резюмированы некоторые хорошо известные результаты, относящиеся к фильтрам. Линейный фильтр может характеризоваться двумя различными, но эквивалентными способами. Первое и более распространенное описание в терминах комплексного коэффициента передачи Если чистая синусоида частоты и амплитуды Е воздействует на вход фильтра, откликом является также синусоида частоты и амплитуды Фаза на выходе определяется углом — фазой фильтра на этой частоте. Часто удобно записывать комплексный коэффициент передачи в форме где — усиление, — угол является фазой. Предположим, что фильтр может содержать идеальный усилитель так же, как и пассивные элементы; поэтому можно прибавить любую постоянную к А, чтобы сделать абсолютный уровень таким, как нужно.

Второй способ описания свойств фильтра вводится посредством функций времени. Пусть — обратное преобразование

Фурье для

Тогда — прямое преобразование Фурье от

Знание К (0 полностью эквивалентно знанию одно из них может быть вычислено, если известно второе.

Временная функция представляет реакцию фильтра на единичный импульс, приложенный к входу в момент как показано на рис. 2.

Рис. 2. Импульсная реакция фильтра.

Из этого можно легко получить реакцию фильтра на произвольный входной сигнал Нужно просто разделить входной сигнал на большое число вертикальных ступенек, как показано на рис. 3. Каждая ступенька может рассматриваться как импульс величины который производит реакцию в любой последующий

Рис. 3. Реакция на произвольное воздействие как сумма импульсных реакций.

После суммирования вклада всех ступеней получаем хорошо известную формулу

для общей реакции в момент

Для изучения теории сглаживания выражение (3) может быть заменено несколько иной формулой. Подставляя мы имеем

В этой формуле означает время запаздывания, так что дает значение входного сигнала секунд назад. является функцией, подобной импульсной проводимости, однако отнесенной в прошлое, а не в будущее, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Реакция фильтра как взвешенное среднее по прошедшим значениям входного сигнала.

Очевидно, это есть весовая функция, на которую должно быть умножено входное напряжение, чтобы определить его вклад в реакцию в данный момент.

Критерий физической осуществимости будет приведен либо в терминах К, либо в терминах функции У. В терминах импульсной реакции необходимо, чтобы имело нулевое значение для т. е. фильтр не может реагировать на импульс до того, как импульс возник. Кроме того, должно стремиться к нулю (с разумной скоростью) при Действие импульса, очевидно, должно затухать со временем.

Эти же требования сохраняют смысл при трактовке К как весовой функции. Фильтр не может применять взвешивания к той части входного сигнала, которая еще только должна появиться, поэтому при Действие очень удаленных прошлых значений будет постепенно затухать, так что должно стремиться к нулю, если Следует отметить, что эти условия являются также достаточными для физической осуществимости фильтра в том смысле, что можно получить сколь угодно близкое приближение к данной импульсной реакции при помощи пассивной цепи с сосредоточенными постоянными с одним усилителем.

В терминах частотной характеристики главным условием физической осуществимости является то, что рассматриваемая как функция комплексной переменной со, должна быть аналитической функцией в полуплоскости, определяемой условием

Кроме того, функция должна вести себя на действительной оси частот так, чтобы интеграл (5) был конечен.

Требования физической осуществимости приводит к хорошо известным соотношениям между амплитудно-частотной и фазовочастотной характеристиками. Для данного усиления удовлетворяющего (5), существует минимально-фазовая характеристика. Эта фаза определяется так:

Если квадрат требуемого усиления — рациональная функция частоты скажем где — полиномы, то минимально-фазовая характеристика может быть получена следующим образом. Вычислим корни и запишем как

где все имеют мнимые части больше нуля, т. е. имеются нули и полюсы в верхней полуплоскости, а сопряженные члены имеют соответствующие корни и полюсы в нижней полуплоскости. Фильтр с минимально-фазовой характеристикой имеет тогда коэффициент передачи, равный

Минимально-фазовый фильтр имеет то важное свойство, что его обращение с коэффициентом передачи также физически осуществимо. Если пропустить сигнал через фильтр можно восстановить его в первоначальной форме, пропустив этот сигнал через обратный фильтр. Более того, восстановление происходит без потери времени. С другой стороны, не существует

физически осуществимого точного обращения для неминимально-фазового фильтра. Самое лучшее, что можно сделать, — создать устройство, которое обладало бы всеми свойствами теоретического обращения, если не учитывать дополнительного фазового запаздывания. Дополнительное фазовое запаздывание может быть сбалансировано для получения постоянной задержки с помощью подходящего фазового уравнителя, однако оно не может быть устранено. Так, передавая сигнал через неминимально фазовый фильтр, можно восстановить его только после задержки, т. е. получится с положительным а.