Системы уравнений

Теперь можно доказать следующую общую теорему о дифференциальном анализаторе.

Теорема 11. Самая общая система обыкновенных дифференциальных уравнений

порядка зависимыми переменными может быть решена на дифференциальном анализаторе с использованием только конечного числа интеграторов и сумматоров при условии, что функции являются суперпозициями негипертрансцендентных функций от данных переменных.

Перед тем как доказывать эту теорему, необходимо вывести предварительную лемму. Естественный метод состоял бы в том, чтобы разрешить уравнение относительно уравнение относительно

Однако может оказаться, что не входит в но входит в некоторую другую функцию. Покажем сначала, что, продифференцировав уравнения (12) и изменив порядок уравнений, можно получить эквивалентную систему, при которой наивысший порядок производной от встречается в первом уравнении, наивысший порядок производной от встречается во втором уравнении и т. д.

Прежде всего заметим, что если рассматривается как функция от независимых переменных

то дифференцирование уравнения дает эквивалентное уравнение (при условии, что граничные условия выбираются в соответствии с исходным уравнением). В этом уравнении наивысший порядок производных от каждого встречающегося переменного увеличен на единицу. Кроме того, если исходная функция не включала

гипертрансцендентных функций, то по теореме 9 полученная функция также не включает их и может быть реализована.

Для наших целей существенной характеристикой уравнения (12) является набор значений высших порядков производных различных переменных, встречающихся в этих уравнениях. Эти значения могут быть заданы квадратной матрицей следующим образом:

Здесь — самый высокий порядок производной встречающийся в функции Наши а являются целыми числами, которые могут принимать значения от 0 до Если же переменное вовсе не встречается, то можно придать а специальный символ X. Дифференцирование функций дает в результате прибавление единицы к каждому элементу строки, кроме элементов X, которые остаются неизменными. Две строки матрицы могут быть переставлены, так как это просто означает перенумерацию функций. Покажем, что путем переупорядочивания и дифференцирования всегда можно найти новую систему, причем является максимальным числом в первом столбце, — максимальным числом во втором столбце и в общем случае — максимальным числом в столбце.

Это будет показано методом математической индукции. Покажем сначала, что это верно при Для двух переменных имеем матрицу

Если X встречается больше одного раза, то системавырожденная. Если одна из букв, например есть X, то можно поменять местами строки и затем дифференцировать вторую строку до получения для нового значения неравенства Если ни одна из букв не есть X, то либо либо одно из этих значений меньше. Если они равны, то строки могут быть переставлены

в случае необходимости для получения неравенства Если же одно из них меньше, то будем дифференцировать соответствующую строку до тех пор, пока они станут равны, а затем поступим, как раньше. Таким образом, лемма верна при

Теперь, предположив, что утверждение верно для покажем, что оно верно для и тем самым завершим доказательство. Согласно индуктивному предположению, если дана любая квадратная матрица, содержащая элементов, можно путем дифференцирования соответствующей системы уравнений и переупорядочения первых строк найти эквивалентную систему

такую, что при Можно также предположить, что Для любого так как в противном случае можно добиться этого путем одновременного дифференцирования всех первых функций. Теперь возникают две возможности: 1) . В этом случае система в имеющемся виде является удовлетворительной. 2) Это условие не имеет места; тогда существует некоторое значение Предположим, что это Будем теперь дифференцировать последнюю строку до тех пор, пока не получим выполнение одной из следующих трех возможностей: (в этом случае система является удовлетворительной); (в этом случае меняем местами первую и последнюю строки, после чего система является удовлетворительной); для одного или нескольких значений между 1 и В этом случае дифференцируем оба уравнения с номерами и до тех пор, пока не произойдет одно из трех: а) или тогда действуем как выше при 1) и 2); б) или тогда меняем местами строки и поступаем, как в случае 1); в) максимальное значение в некотором другом столбце достигнуто соответствующими элементами в дифференцируемых строках. В этом случае присоединяем строку или строки, содержащие это максимальное значение, к тем, которые уже дифференцировались, и продолжаем действовать тем же методом. Легко видеть, что этот процесс должен сойтись после

конечного числа шагов, так как невозможно, чтобы все элементы первого и последнего столбцов, кроме были к. Этим завершается доказательство.

Теперь сравнительно просто доказать теорему 11. Прежде всего найдем только что описанным методом систему, эквивалентную (12), в которой самый высокий порядок производной появляется в уравнении с номером к. Пусть этот порядок равен Было показано, что может быть реализована любая суперпозиция негипертрансцендентных функций (теоремы 4 и 7), а следовательно, могут быть реализованы функции Следовательно, по теореме об обратных функциях (теорема 10), можно реализовать функции

Переменные при могут быть получены интегрированием , следовательно, рассматриваемая система может быть решена с применением только интеграторов и сумматоров.