Приложение 6

Верхняя граница, получается из-за того, что максимальная возможная энтропия при мощности достигается для белого шума указанной мощности. В этом случае энтропийная мощность равна

Чтобы получить нижнюю границу, предположим, что имеются два -мерных распределения с энтропийными мощностями Каковы должны быть для того, чтобы минимизировать энтропийную мощность их свертки

Энтропия распределения равна

Требуется минимизировать ее при условиях

Для этого рассмотрим

Если варьируется в окрестности точки то вариация равна

и

и аналогично для случая, когда варьируется Поэтому условиями для минимума будут

Если умножить первое равенство на а второе на и проинтегрировать по то получим

или, решая относительно и и подставляя в уравнения, получаем, что

Допустим теперь, что — нормальные распределения

Тогда также будет нормальным распределением с квадратичной формой Если обратные формы для обозначить через то

Требуется показать, что условия минимизации выполняются тогда и только тогда, когда и при этом достигается минимум величины при наложенных ограничениях. Прежде всего имеем

что должно равняться для чего требуется

В этом случае и оба уравнения сводятся к тождествам.