19. Ансамбли функций с ограниченной полосой частот

Если функция времени ограничена по полосе частот от 0 до герц, то она полностью определяется заданием ее ординат в дискретной последовательности точек, отстоящих друг от друга на 2 секунду при помощи способа, указываемого следующими рассуждениями:

Теорема 13. Пусть не содержит частот, превышающих Тогда

где

В этом разложении представляется как сумма ортогональных функций. Коэффициенты при различных слагаемых можно рассматривать как координаты в бесконечномерном «функциональном пространстве». В этом пространстве каждая функция соответствует точно одной точке, и каждая точка — одной функции.

Можно считать, что функция фактически ограничена временным интервалом Т, если все ординаты вне этого интервала времени равны нулю. В этом случае только координат отличны от нуля. Таким образом, функции, ограниченные полосой частот и длительностью Т, соответствуют точкам в пространстве измерений.

Подмножество функций с полосой частот и длительностью Т соответствует области в этом пространстве. Например, функции, полная энергия которых меньше или равна Е, соответствуют точкам -мерной сферы радиуса

Ансамбль функций с ограниченной полосой частот и ограниченной длительностью будет представляться распределением вероятностей в соответствующем n-мерном пространстве. Если ансамбль не ограничен по времени, мы можем считать, что координат в данном интервале Т представляют фактически часть функции, соответствующую интервалу Т, и распределение дает статистическую структуру ансамбля для интервалов такой длительности.