13. Границы ошибок и другие условия, накладываемые на точки

До сих пор (кроме разд. 12) предполагалось, что все кодовые точки расположены на поверхности сферы, т. е. средний квадрат расстояния между ними равен . Рассмотрим задачу оценки вероятности когда кодовые точки находятся лишь внутри или на самой поверхности сферы. Ясно, что так как при этом ослабляются условия, накладываемые на код, то это приводит только к улучшению, т. е. к уменьшению вероятности ошибки для лучшего кода. Таким образом,

С другой стороны, покажем, что

В самом деле, предположим, что дан код длиной все точки которого расположены на или внутри -мерной сферы. Добавим к каждому кодовому слову дополнительную координату такой величины, чтобы в -мерном пространстве эта точка лежала в точности на поверхности -мерной сферы. Если первые координат точки имеют значения удовлетворяющие условию

то добавляемая координата должна иметь значение

Это приводит к коду первого типа (все точки лежат на поверхности -мерной сферы) с М словами длины и отношением сигнал/шум равным Вероятность ошибки для рассматриваемого кода не больше соответствующей вероятности приведенного кода, поскольку добавление координаты может лишь уточнить процесс декодирования. Можно, например, декодировать, игнорируя последнюю координату, и получать ту же самую вероятность ошибки. Использование этого метода может лишь облегчить декодирование.

Вероятность ошибки для приведенного кода длины должна быть больше или равна аналогичной вероятности для оптимального кода длины с точками на поверхности сферы. Следовательно, имеем выражение (83). Так как при больших меняется экспоненциально с изменением то эффект от замены на соответствует умножению на постоянную. Поэтому верхние границы остаются без изменения, а

нижние границы оказываются умноженными на величину, которая не сильно зависит от при большом Асимптотические кривые надежности соответственно остаются теми же самыми, благодаря чему приведенные графики кривых Е могут применяться в обоих случаях.

Рис. 7. (см. скан) Кривые зависимости от при 1/4 и 1/2.

Рассмотрим теперь третий тип условий, накладываемых на точки, а именно условие, что средний по системе точек квадрат расстояния от начала координат был бы менее или равен . Это является опять-таки ослаблением предыдущих условий, и, следовательно, оптимальная вероятность ошибки будет меньше или равна соответствующей вероятности в предыдущих случаях

Наши верхние границы вероятности ошибки (и следовательно, нижние границы надежности) можно применять в прежней форме.

Нижние границы можно найти следующим образом. Если имеется М точек со средним квадратом расстояния от начала, не превосходящим то для некоторого значения а по крайней мере из этих точек лежат внутри поверхности сферы с квадратом радиуса .

Рис. 8. (см. скан) Кривые зависимости от при .

[Если бы более чем из них находились вне сферы, то они одни внесли бы в сумму квадратов расстояний вклад, больший чем

и среднее было бы больше чем Возьмем оптимальный код, удовлетворяющий третьему условию; так как точек его находятся внутри сферы радиуса , из него можно сконструировать код, удовлетворяющий второму условию, с меньшим числом точек и увеличенным радиусом. Вероятность ошибки для нового кода не может превзойти вероятность ошибки первоначального кода больше чем в раз.

(кликните для просмотра скана)

(Каждое новое кодовое слово используется самое большее раз. Вероятность ошибки используемого слова каждый раз будет не больше первоначальной.) Поэтому