1. Получение производящей функции

Для одного элемента, очевидно, возможна только одна сеть — сам элемент. Для 2, 3 и 4 элементов на рис. 1 представлены все параллельно-последовательные сети, разделенные на классы существенно последовательных и существенно параллельных сетей по причинам, которые будут объяснены ниже.

Рис. 1.

Заметим, что здесь не различаются сети, эквивалентные относительно перестановок их последовательных и параллельных частей, так как с точки зрения электротехники порядок их взаимного расположения не существен.

Эта классификация показывает двойственность: число существенно последовательных сетей равно числу существенно параллельных и каждая сеть взаимно однозначно соответствует своему аналогу. Правило соответствия состоит в том, что существенно последовательная

сеть становится существенно параллельной, если слова «последовательный» и «параллельный» в описании сети поменять местами.

Для характеристики сетей удобно иметь систему символов. Это может быть сделано следующим образом: использованием знака для обозначения последовательного соединения; точки или простого присоединения для обозначения параллельного соединения элементов; 1 для обозначения единичного элемента сети и введения сокращений: для элементов, соединенных последовательно) и элементов, соединенных параллельно); например, символ изображает параллельное соединение одного элемента с двумя последовательно соединенными элементами.

Тогда сетям, изображенным на рис. 1, соответствуют обозначения, приведенные в следующей таблице:

Рассматривая существенно параллельные сети, можно заметить, что для и 3 цифровыми обозначениями являются разложения числа на слагаемые, исключая само Если в качестве разложения взято само для обозначения существенно последовательной сети, то все параллельно-последовательные сети представляются разложениями числа для . При появляется обозначение (и соответствующая сеть), которое не является разложением числа . Но есть одна из существенно последовательных сетей для Отсюда все сети представляются в виде разложений, если каждая часть разложения интерпретируется как вся совокупность соответствующих существенно последовательных сетей, например разложение 31 интерпретируется как сети 31 и

При подсчете это означает, что каждое разложение имеет относящийся к нему численный коэффициент, определяемый числом существенно последовательных сетей, соответствующих каждой из его составных частей. Если число таких сетей из элементов

обозначается через то коэффициент для разложения где никакие части не повторяются, равен при так как каждая из комбинаций, соответствующих данной части, может быть соединена параллельно с комбинациями, соответствующими остальным частям. Коэффициент для повторяющейся части, скажем повторенное раз), есть число сочетаний элементов с неограниченными повторениями из по , т. е. биномиальный коэффициент

Отсюда общее число параллельно-последовательных сетей из элементов может быть записано в виде

где сумма берется по всем системам неотрицательных целых чисел таким, что Другими словами, эта сумма берется по всем разложениям числа

Таким образом, для разложениями являются

и

или, так как

Аналогично

Производящая функция, данная Мак-Магоном, а именно

где П означает произведение, может быть получена из (1) рассуждениями, несущественно отличающимися от тех, которые были использованы для получения производящей функции Эйлера для разложений числа которая имеет вид