МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА

Введение

Дифференциальный анализатор — это машина, разработанная в Массачусетском технологическом институте под руководством доктора В. Буша для получения численных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные принципы, лежащие в основе дифференциального анализатора, впервые были сформулированы Кельвином, однако в то время вследствие технических трудностей было невозможно построить машину задуманного им типа. Доктор Буш и его сотрудники независимо открыли те же самые принципы, и в 1931 г. было завершено создание первого дифференциального анализатора. Технические трудности, возникшие при создании машины, были преодолены с помощью нескольких остроумных устройств, как, например, усилители напряжений вращения и блоки корректировки мертвого хода, а также посредством улучшенных технических приемов работы машины. С тех пор в различных частях света было построено несколько других машин. Они использовались при решении многих задач, возникающих в технике, физике и других отраслях науки.

Механическая работа машины и способы ее подготовки к работе подробно описаны в следующих статьях. Для наших целей можно кратко резюмировать способ работы машины следующим образом. Каждый член или переменное данного уравнения или данной системы уравнений представляется в машине определенным валом. В любой момент значение переменной пропорционально

числу полных оборотов, совершенных соответствующим валом из некоторого фиксированного положения. Эти валы связаны между собой с помощью механических устройств, обеспечивающих выполнение определенных математических соотношений между числами оборотов взаимно связанных валов. Наиболее важными механическими устройствами являются устройства четырех типов: коробки скоростей, сумматоры, интеграторы и функциональные устройства. С помощью этих устройств для соответствующих валов обеспечивается выполнение любого соотношения, определяемого данными уравнениями. Например, если в дифференциальном уравнении сумма двух членов равна третьему члену, то соответствующие валы анализатора связываются суммирующим устройством. Если в уравнении появляются члены , то для осуществления соотношения соответствующие валы соединяются интегратором и т. д.

Вращение вала, представляющего независимое переменное, влечет за собой вращение всех других валов в соответствии с уравнением. Таким образом, численное решение может быть получено подсчетом чисел оборотов вала, представляющего зависимое Переменное, соответствующих равным приращениям независимого переменного, причем результат вычерчивается в виде кривой. С помощью специального устройства вывода можно заставить машину автоматически вычерчивать кривые решения уравнений.

Когда дифференциальный анализатор монтировался впервые, предполагалось, что все функциональные соотношения между членами решаемого уравнения будут вводиться в машину с помощью функциональных устройств. Однако в связи с одной баллистической задачей, в которой требуется вычисление функции было замечено, что эта функция может быть получена без функционального устройства, а с помощью присоединения интегратора для выполнения операции Вскоре было обнаружено, что практически все важные простые функции могут быть реализованы путем

применения одних только интеграторов и сумматоров. Это осуществляется посредством установки на анализаторе вспомогательного уравнения, решением которого является требуемая функция. Дж. Герьери в диссертации, написанной в 1932 г., устанавливает соотношения для реализации большинства элементарных функций.

В данной статье рассматриваются математические вопросы теории дифференциального анализатора. Наиболее важные результаты связаны с условиями, при которых могут быть реализованы функции от одного или нескольких переменных, а также условиями, при которых возможно решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, уделяется внимание аппроксимации функций (которые не могут быть реализованы точно), аппроксимации передаточных чисел и автоматическому управлению скоростью работы устройства.

В статье предполагается, что все рассматриваемые обыкновенные дифференциальные уравнения имеют единственные решения и что все формальные процессы дифференцирования, интегрирования и т. д. правомерны в рассматриваемой области изменения аргументов. В случае общих дифференциальных уравнений нет необходимости, чтобы уравнения были интегрируемы; однако предполагается, что решение существует вдоль любой кривой в данной области. Основания для этого будут введены ниже.

Будем рассматривать идеализированный дифференциальный анализатор в предположении, что в нашем распоряжении имеется неограниченное число следующих идеальных блоков.

1. Интеграторы. Для данных двух валов и и интегратор вынуждает третий вал вращаться при всех изменениях в соответствии с соотношением где а — произвольная константа. В реальных интеграторах максимальное значение ограничено, но может быть сделано сколь угодно большим посредством изменения масштабных множителей, с тем чтобы интегрирование могло быть выполнено везде, за исключением полюсов функции и. Константа а представляет собой начальную установку интегратора.

2. Сумматоры. Для данных двух валов и и сумматор вынуждает третий вал вращаться, реализуя при всех изменениях и и у. Если не учитывать мертвого хода и люфта шестерен, то для реальных дифференциальных суммирующих устройств эти условия выполняются. Легко видеть, что любой способ соединения

сумматоров со свободными валами осуществляет соотношение где постоянные действительные числа. Для удобства будем называть такое соединение сумматором. Соединив последовательно простые сумматоры, можно сделать все значения единичными и получить

3. Функциональные устройства. Для данного вала х функциональное устройство обеспечивает вращение вала в соответствии с заданным соотношением где — некоторая функция, имеющая лишь конечное число конечных разрывов.

4. Коробки скоростей. Если дан вал х, то коробка скоростей с передаточным числом создает для второго вала режим вращения Тогда, сделав величину и тождественно равной нулю, получим на интеграторе Очевидно, что коробки скоростей являются теоретически излишними и применяются для экономии. Поэтому рассматривать коробки скоростей не будем, а только покажем, что любое передаточное число может быть аппроксимировано с применением пар шестерен только двух размеров.

Наконец, предполагается, что каждый из описанных выше элементов способен выполнять свою частную задачу тогда и только тогда, когда на каждый вал действует не более чем один источник движения. Под источником движения понимается любой из следующих: вал независимого переменного, вал интегратора, вал сумматора (или У в общем случае), вал функционального устройства или вал коробки скоростей. Это условие чрезвычайно важно при установке устройств дифференциального анализатора. Оно накладывает ограничение на возможные соединения блоков и лежит в основе настоящего анализа.

Будем говорить, что можно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимым переменным х и зависимыми переменными тогда и только тогда, когда может быть найдено устройство, использующее перечисленные выше элементы и удовлетворяющее предположению об источнике движения, и такое, что вращение вала независимого переменного х влечет за собой вращение валов в соответствии с уравнениями при любых данных начальных условиях. Будем говорить, что решение системы уравнений в полных дифференциалах возможно, если можно найти такую систему соединений, что любое вращение валов независимых переменных влечет за собой вращение валов зависимых переменных в соответствии с уравнениями при любых заданных начальных условиях. В большинстве теорем будут рассматриваться устройства, содержащие только интеграторы и сумматоры.