7. Предсказание при наличии шума

Рассмотрим теперь общую проблему предсказания и сглаживания при наличии шума. Требуется найти наилучшую оценку для когда известна функция от — со до настоящего момента времени. Если сигнал пропущен через фильтр, усиление которого то получится плоский спектр, который можно трактовать как белый шум. Пусть — характеристика минимально-фазового фильтра, имеющего такое усиление. Тогда как так и обращение являются физически осуществимыми фильтрами. Очевидно, значение сигнала на входе и знание его реакции эквивалентны. Наилучшая линейная операция над реакцией будет давать то же самое предсказание, как и соответствующая наилучшая линейная операция на входе.

Если бы была известна полная функция от до то наилучшей операцией, примененной к входу, была бы та, которая удовлетворяет равенству (18). Если в качестве фазовой характеристики взято то это эквивалентно операции

над реакцией имеющей характер белого шума.

Пусть импульсная реакция, полученная из (27), будет как показано на рис. 9. в общем случае содержит хвосты, простирающиеся как до , так и до стык между двумя половинами кривой смещен из начала координат на время предсказания а.

Рис. 9. Возможная функция

Функция на рис. 10, конечно, идеальная весовая функция в применении к белому шуму на выходе Однако единственные фактически имеющиеся в нашем распоряжении данные к моменту — это импульсы, которые, можно полагать, появились в прошедшей истории этого выходного процесса.

Рис. 10. Весовая функция соответствующая рис. 9.

Какой вес следует придать этим импульсам, чтобы получить лучшее предсказание? Кажется естественным взвесить их так, как если бы все данные были уже налицо, и приписать нулевой вес будущим импульсам (ведь требуется сделать фильтр физически осуществимым). Что это действительно правильное взвешивание, когда различные входные импульсы статистически независимы, будет сейчас выведено как следствие общих статистических принципов.

Предположим, что имеются случайные переменные которые статистически независимы или по крайней мере обладают тем свойством, что среднее произведение любых двух значений хтхп равно нулю. Эти переменные будем трактовать как амплитуды отдельных импульсов шума и к ним попробуем применить весовую функцию, изображенную на рис. 10.

Пусть у есть другая случайная величина, коррелированная с оцениваемая в смысле наименьших квадратов при помощи линейной операции над . В нашем случае под у будем понимать сигнал спустя а секунд. Предсказываемая величина будет иметь, вид

и среднеквадратичная ошибка будет равна

так как все слагаемые в двойной сумме пропадают, за исключением тех, для которых Найдем минимальное Е подходящим выбором Приравняв частные производные по нулю, получим

или

В вышеприведенном вычислении существенно то, что каждое из минимизирующих уравнений содержит только одно содержит только Другими словами, минимизация Е по всем эквивалентна минимизации раздельно по каждому будет иметь величину каковы бы ни были значения, приписанные другим

Возвратимся теперь к проблеме предсказания и сглаживания. Функция дает надлежащий вес импульсам, если все их можно использовать. Условие физической осуществимости требует, чтобы

будущие импульсы, соответствующие давались с нулевым весом. На основании вышеприведенного статистического принципа импульсам, поступившим в прошлом, по-прежнему придается вес Другими словами, надлежащий фильтр для белого шума на входе имеет импульсную реакцию, равную нулю для для

Суммируя, получим следующие этапы решения.

1. Вычисляется минимально-фазовая частотная характеристика для усиления обозначим ее

2. Пусть имеется равенство:

Это физически неосуществимая характеристика. Пусть ее преобразование Фурье есть

3. Положим Для 0 и для Переход от К 2 к означает отсечение первых а секунд и сдвиг остающегося хвоста до Эта импульсная реакция физически реализуемого фильтра и является оптимальной операцией над прошлым входного белого шума. Пусть соответствующая функция передачи обозначена

4. Построим Это — оптимальный сглаживающий и предсказывающий фильтр для сигнала

Как и в проблеме чистого предсказания, если шум и сигнал оказываются чисто гауссовскими временными последовательностями, то линейное предсказание является абсолютно оптимальным среди всех операций предсказания, линейных или нелинейных. Более того, распределение значений когда известно для является гауссовским.