Преобразование треугольника в звезду и звезды в ячейку

Как и в общей теории схем, здесь существуют преобразования треугольника в звезду и звезды в ячейку. В схемах с конечным сопротивлением такие преобразования, если они существуют, единственны. В схемах рассматриваемого здесь типа эти преобразования всегда существуют, но не однозначны. Приводимые здесь схемы являются самыми простыми, так как они требуют наименьшего числа элементов. Преобразование треугольника в звезду показано на

рис. 8. Обе схемы эквивалентны относительно трех полюсов , так как по дистрибутивному закону и аналогичные соотношения имеют место для других пар полюсов

Преобразование звезды в ячейку показано на рис. 9. Эквивалентность схем, изображенных на этом рисунке, следует из того факта, что

Рис. 8. Преобразование треугольника в звезду.

Для звезды с лучами также существует эквивалентная ячейка. Эта ячейка получается удалением центра звезды и соединением каждой пары ее полюсов сопротивлением, равным сумме сопротивлений соответствующих лучей звезды.

Рис. 9. Преобразование звезды в ячейку.

Это может быть доказано методом математической индукции. Было показано, что это верно для Предполагая это утверждение верным для докажем его для Предположим, что указанным методом построена ячейка из данной звезды с лучами. Каждый угол полученной ячейки является звездой с лучом, и так как по предположению теорема верна для можно заменить угол эквивалентной ему ячейкой. Если — сопротивление первоначальной звезды от центра 0 до точки то полученная ячейка будет иметь между вершинами и сопротивление Но это сводится к что является правильным значением, так как исходная звезда с лучами, у которой удален луч, является звездой с лучом и, по нашему предположению, может быть заменена ячейкой с этим сопротивлением между полюсами и Следовательно, обе схемы эквивалентны

относительно первых полюсов. При помощи элиминации другого полюса или из соображений симметрии доказывается эквивалентность относительно всех полюсов.