3. Нижняя граница, основанная на соображениях «сферической упаковки»

Предположим, что имеется код, состоящий из М точек в -мерном пространстве с расстояниями от начала координат, равными . Так как любые два слова находятся на одном и том же расстоянии от начала координат, -мерная гиперплоскость, которая делит пополам соединяющий их отрезок и перпендикулярна к нему, проходит через начало координат. Таким образом, все гиперплоскости, определяющие полиэдры, окружающие эти точки (для оптимальной декодирующей системы), проходят через начало координат. Эти полиэдры поэтому имеют вид пирамид с вершинами в начале координат. Вероятность ошибки для такого кода составляет

где равно вероятности того, что при использовании кодового слова оно под воздействием шума окажется вне пирамиды, построенной вокруг слова. Вероятность правильного приема равна

Это средняя вероятность того, что кодовое слово окажется в пределах своей пирамиды.

Пусть пирамида имеет телесный угол (т. е. является площадью, вырезаемой пирамидой на единичной -мерной сферической поверхности). Рассмотрим для сравнения правильный круговой -мерный конус с тем же самым телесным углом имеющий кодовое слово на своей оси на расстоянии от начала координат.

Можно утверждать, что вероятность того, что кодовое слово останется в своем конусе, больше, чем вероятность того, что оно останется в своей пирамиде. Это следует из монотонного убывания плотности вероятностей с увеличением расстояния от кодового слова. Пирамиду можно деформировать в конус путем перемещения малых конических элементов с больших расстояний на меньшие расстояния от кодового слова. Такие перемещения непрерывно увеличивают вероятность. Для трехмерного случая это проиллюстрировано на рис. 1.

Рис. 1. Пирамида, деформируемая в конус перемещением малых элементов конуса с больших расстояний на меньшие.

Перемещение малых конических элементов из области вне конуса в область внутри него увеличивает вероятность, так как плотность вероятности внутри конуса больше, чем вне его. Формально это можно показать интегрированием плотности вероятности по области конуса, лежащей вне пирамиды, и области пирамиды, лежащей вне конуса. Первая величина будет больше телесного угла области умноженного на плотность вероятности на границе конуса. Для пирамиды получится значение, меньшее этой величины.

Поэтому некоторая граница вероятности ошибки для данного кода определится соотношением

в котором телесный угол пирамиды, — вероятность попадания точки во внешнюю область, окружающую конус с телесным углом Для телесного угла -мерной сферы справедливо соотношение так как наши пирамиды соответствуют разбиению сферы. Теперь, используя свойство плотности вероятности убывать с расстоянием, находим, что является выпуклой

функцией Это позволяет произвести дальнейшее упрощение выражения для границы, заменив все их средними Тогда

и поэтому

Удобнее выразить границу вероятности ошибки через полуугол конуса 0, чем через телесный угол Определим как вероятность попадания точки в область вне конуса с полууглом Тогда, если соответствует конусу с телесным углом вышеприведенную границу можно представить в виде

Это и есть найденная основная нижняя граница для . Необходимо выразить ее через и дать оценку при помощи простых функций.

Следует заметить, что эта граница даст точную вероятность ошибки, которая имела бы место, если бы существовала возможность разбить все пространство на М конгруэнтных конусов, соответствующих передаваемым словам, и расположить кодовые слова на осях этих конусов. Интуитивно представляется весьма правдоподобным, что любой конкретный код должен иметь большую вероятность ошибки, чем код, основанный на таком коническом разбиении. Очевидно, что если то такое разбиение можно легко сделать лишь для или 2.

Нижнюю границу можно выразить в терминах известного в статистике нецентрального -распределения. Нецентральное -распределение задает вероятность того, что отношение случайной величины к квадратному корню из среднего квадрата других случайных величин

не превосходит причем все переменные и являются независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними и единичными дисперсиями, а постоянно. Обозначая эту

вероятность имеем

С геометрической точки зрения -распределение соответствует сферическому гауссовскому распределению с единичной дисперсией вокруг точки с расстоянием от начала координат в -мерном пространстве. Вероятность является вероятностью попадания во внешнюю область конуса, выходящего из начала координат и имеющего центр распределения на своей оси. Котангенс его полуугла равен поэтому вероятность может быть задана формулой

Кажется, что нецентральное -распределение не относится к распределениям, которые широко табулировались. Джонсон и Велч дают несколько таблиц, однако они предназначаются для приложений другого рода и в нашем случае пользование ими неудобно. Кроме того, они не доведены до больших значений Поэтому дадим оценку для нижней границы, выведя асимптотическую формулу для функции распределения а также ее плотности вероятности Сначала, однако, найдем верхнюю границу в терминах того же распределения