Свойства функции h(p)

Рассмотрим произвольную двухполюсную схему, построенную из контактов, вероятность замыкания каждого из которых равна Пусть при этом вероятность замыкания схемы равна Исследуем некоторые из свойств функции

Прежде всего, функция есть многочлен; его можно записать следующим образом:

где — общее число контактов в схеме, — число способов, которыми можно выбрать множество из контактов в схеме так, что она будет замкнута, если эти контактов будут замкнуты, а остальные контакты разомкнуты. Это очевидно, поскольку в правой части равенства (1) стоит сумма вероятностей различных способов, которыми схема может быть замкнута.

Первый ненулевой член в равенстве (1), скажем относится к кратчайшим путям через схему от одного полюса к другому; есть длина этих путей, их число. Это объясняется тем, что в равенстве множества, соответствующие в действительности должны быть путями (иначе не было бы первым ненулевым членом). Будем называть длиной схемы. Из равенства (1) следует, что при значениях близких к нулю, функция ведет себя как

Подобным образом можно поступить с вероятностью размыкания схемы и записать

где число множеств из контактов, обладающих тем свойством, что если все контакты такого множества разомкнуты, а остальные контакты замкнуты, то схема будет разомкнута. Первый ненулевой член в этой сумме, скажем относится к наименьшему размыкающему множеству (т. е. множеству контактов, размыкание которых размыкает схему). Здесь — число контактов в этом минимальном размыкающем множестве, — число таких размыкающих множеств. Объяснение этого в основном такое же, как и выше. Назовем шириной схемы. Очевидно, что при значениях близких к единице, ведет себя как

Функция может быть вычислена и другим способом. Пусть -некоторый контакт в нашей схеме. Рассмотрим функцию вероятности для схемы, полученной из исходной схемы посредством замыкания контакта и функцию вероятности для схемы, полученной из исходной посредством размыкания этого контакта. Очевидно, что

Кроме того, если то

Это интуитивно, ясно из того, что любое замыкание в схеме не может уменьшить вероятность того, что схема будет замкнута. Формально это следует из равенства (1), если заметить, что случаи, когда схема, соответствующая функции замкнута, образуют подмножество множества случаев, в которых замкнута схема, соответствующая функции , следовательно, члены в выражении (1) для функции не меньше соответствующих членов в выражении для функции

Если данная схема плоская, то она будет иметь двойственную схему. Пусть — функция вероятности для этой двойственной схемы. Пусть каждому состоянию контактов основной схемы

соответствует состояние контактов двойственной схемы, при котором соответствующие контакты имеют противоположные состояния. Тогда состояния, для которых основная схема разомкнута, будут соответствовать состояниям, для которых двойственная схема замкнута. Если вероятность замыкания контактов в двойственной схеме равна где вероятность замыкания контакта в основной схеме, то вероятности соответствующих состояний будут одинаковыми. Следовательно,

Пример такого соответствия между функциями для некоторой схемы и ей двойственной показан на рис. 3 и 4. Каждую из этих кривых можно получить из другой путем инвертирования, т. е. путем замены 0 на 1 и 1 на 0 на абсциссе и ординате.

Если схема является самодвойственной (например, мостик рис. 5), то

Подставляя находим