3. Асимптотическое поведение

Поведение для больших в идеальном случае должно выражаться точной формулой или, если такую формулу не удается найти, асимптотической формулой. Замечателен тот факт, что асимптотическая формула для числа разложений является «точной» формулой, т. е. может быть использована в вычислении точных значений для больших Такие формулы для не найдены; вместо этого даются функции, оценивающие снизу и сверху.

Очевидно прежде всего, что для всех значений Но этого мало. Несколько лучшей оценкой является

где есть число композиций числа т. е. разложений числа в которых порядок расположения частей существен. Это доказывается так. Из уравнения (5) имеем если

Решение последнего уравнения, если положить выражается формулой

Если учитывать большее число членов уравнения (5), то нижняя оценка повышается, но относительно медленно, а анализ быстро усложняется; лучшее, что было получено в этом направлении, есть оценка

где А — фиксированная константа.

Другой, более интуитивный путь гораздо лучше. Во-первых, заметим, что сетей с элементами заведомо больше, чем их получается при параллельном или последовательном присоединении одного элемента к сетям с элементом, которые получаются при параллельном или последовательном присоединении одного элемента к сетям с элементами и т. д. Отсюда

где

т. е. результат, полученный выше.

Сети из элементов с одним элементом, присоединенным параллельно (или последовательно), — это как раз те сети, которые представляются числом в классификации Гупта. Поэтому аппроксимация может быть улучшена рассмотрением большего числа членов в выражении

Член учитывает существенно последовательные сети, в которых наименьшая существенно параллельная часть имеет точно элементов. Если из каждой такой сети удалить эту часть, то оставшихся сетей будет не менее, чем существенно последовательных сетей с элементами, если таким образом:

Для четного, скажем

для нечетного

Отсюда

Поэтому вообще если и

Записывая производящую функцию для в виде

из рекуррентного соотношения (13) вместе с начальными условиями получаем

т. е.

Асимптотическое поведение может быть определено из методом Дарбу; именно

где А — фиксированная константа и

Верхняя оценка получается тем же процессом, если учесть, что

Отсюда

и

Аналогично вышеизложенному

и

Сравнение для где для удобства берется только целая часть от (обозначается через ), приводится в следующей таблице:

Отметим, что для больших значений нижняя оценка ближе к истинному значению.

Третья, полуэмпирическая оценка ничего не дает. Из табл. I замечаем, что для число приближенно равно Принимая это в качестве равенства и используя уравнение (8) и известные значения получаем уравнение для производящей функции приближенных значений в виде

Сравнение и целой части показано в таблице II для

Таблица II (см. скан) Аппроксимация числа параллельно-последовательных сетей

Приближение в высшей степени точно; наибольшее расхождение составляет 10% для но от до 20 значения совпадают с точностью до 3%.

Асимптотическое поведение выражается формулой

где А около около 3,56.