2. Теорема отсчетов

Пусть канал пропускает полосу частот (в герцах, считая от нуля) и может использоваться на протяжении времени Т. Без дальнейших ограничений это значит, что можно применять в качестве функций сигнала любые функции, спектр которых полностью вмещается в полосу и длительность укладывается в интервал Т. Хотя оба условия не могут быть выполнены в точности, возможно ограничить спектр полосой и при этом иметь очень малые значения функции вне интервала Т. Можно ли более удобным образом описать функции, удовлетворяющие этим условиям? Ответ дает следующая теорема:

Теорема 1. Если функция не содержит частот выше гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на сек.

Это общеизвестный в теории связи факт. Интуитивное подтверждение состоит в том, что если не содержит частот выше то она не может существенно изменить свое значение за время меньшее, чем половина периода наивысшей частоты, т. е. Математическое доказательство, показывающее, что это положение верно не только приблизительно, но в точности, состоит в следующем.

Пусть есть спектр, Тогда

так как равно нулю вне полосы Положив

где любое целое число, положительное или отрицательное, получим

Слева записаны значения в моменты отсчетов. В интеграле справа можно узнать коэффициент разложения функции по гармоникам с периодом от до Это означает, что отсчеты определяют коэффициенты Фурье в разложении Значит, они определяют и так как равна нулю при всех частотах выше а для частот ниже определяется своими коэффициентами Фурье. Но полностью определяет исходную функцию так как функция определена, если ее спектр известен. Итак, исходные отсчеты полностью определяют функцию Существует одна и только одна функция с ограниченным полосой спектром и принимающая заданные значения в моменты отсчетов, отстоящие на другот друга. Функция может быть просто восстановлена по отсчетам, если применить импульс вида

Эта функция равна единице при и нулю при т. е. во всех остальных точках отсчета. Ее спектр равен постоянной в полосе и нулю вне этой полосы. В каждой точке отсчета помещается такой импульс с амплитудой, равной отсчету в данной точке. Сумма импульсов и дает исходную функцию, так как она удовлетворяет условию ограничения спектра и принимает заданные значения.

Математически процесс описывается следующим образом. Пусть есть отсчет. Тогда функция представляется как

Аналогичный результат получается и в том случае, когда полоса начинается не от нулевой частоты, что может быть доказано линейным переносом (физически соответствующим однополосной модуляции) предыдущего случая. В этом случае элементарный импульс получается из посредством однополосной модуляции.

Если функция ограничена временным интервалом Т и отсчеты отстоят на то всего в интервале Т будет отсчетов. Все отсчеты вне интервала Т равны нулю, точнее, будем говорить по определению, что функция ограничена интервалом Т тогда и только тогда, когда отсчеты вне интервала в точности равны нулю. Тогда можно сказать, что любая функция, ограниченная полосой

и временным интервалом Т, может быть полностью определена заданием чисел.

Теорема 1 была первоначально дана в других формах математиками, но, несмотря на ее очевидную важность, не приводилась в литературе по теории связи. Впрочем, Найквист, а в последнее время Габор отмечали, что достаточно приблизительно чисел, основывая свою аргументацию на разложении функции в ряд Фурье на интервале Т. Это дает синусов и косинусов вплоть до частоты Небольшое расхождение обусловлено тем, что получаемые таким путем функции не точно ограничены полосой вследствие внезапного начала и окончания гармонических составляющих появятся некоторые составляющие вне полосы. Найквист отметил важное значение интервала для телеграфии; здесь этот интервал будет называться интервалом Найквиста, соответствующим полосе

Числа в количестве определяющие функцию, необязательнодолжны представлять собой равноотстоящие отсчеты. Например, отсчеты могут браться через неравные интервалы, хотя при наличии значительных отклонений отсчеты должны быть известны с большой точностью для правильного восстановления функции. Можно показать, что достаточно знать значение функции и ее производной в точках отсчета, взятых через одну. Значение функции и двух ее производных в каждой третьей точке образуют иную систему параметров, определяющих функцию. Вообще говоря, любая совокупность независимых чисел, связанных с функцией, может применяться для ее описания.