5. Чистая проблема сглаживания
Основная трудность в минимизации выражения (12) для среднеквадратичной ошибки лежит в надлежащем введении условия, что 
должна быть физически осуществимой частотной характеристикой. Сначала решим вопрос без этого ограничения, а затем из этого решения построим лучший физически осуществимый фильтр.
Отказ от условия физической осуществимости равносилен допущению произвольного выбора 
или, что то же, любой импульсной реакции 
Так, 
не обязательно равна нулю для 
и допускается весовая функция, которая может быть применена как к прошлому, так и к будущему 
Другими словами, предположим, что при предсказании может быть использована полная функция 
при 
меняющемся от 
до 
Предположим, что в выражении (12)
с действительными 
Тогда получим
где 
будем и далее для простоты писать как 
и т. д. Ясно, что наилучшим выбором 
будет 
так как это максимизирует 
. Тогда получим из (14)
Дополняя равенство (15) до квадрата добавлением и вычитанием 
получим
или
Член в квадратных скобках является квадратом действительного числа, поэтому он положителен или равен нулю. Ясно, что для минимизации Е надо выбрать С таким, чтобы этот член всегда был равен нулю, т. е.
При таком выборе 
среднеквадратичная ошибка (17) будет равна
Наилучшая весовая функция дается обратным преобразованием Фурье выражения (18)
будет, вообще говоря, меняться от 
до 
. Она не является импульсной реакцией физически осуществимого фильтра. Однако это вполне подходящая весовая функция. Если бы можно было ждать, пока вся функция 
будет доступна, то эта весовая функция была бы как раз той, которая требуется для определения 
может быть получена для физически осуществимого фильтра, если допускается достаточная задержка, так что 
имеет практически нулевое значение для всего будущего. Таким образом, решена проблема сглаживания с «бесконечным сдвигом». Хотя 
в формулах (18) физически неосуществима, 
будет осуществима или почти осуществима, если 
взято достаточно большим.
