9. Произвольный гауссовский шум

Если белый шум пропустить через фильтр с коэффициентом передачи то получится шум со спектром мощности известный под названием гауссовского шума. Можно подсчитать пропускную способность канала, подверженного действию гауссовского шума, основываясь на результатах, полученных для белого шума. Пусть полная мощность передатчика Р распределена по спектру по закону Тогда

Можно разделить полосу на большое число узких полосок, считая в каждой полоске постоянным. Полная пропускная способность для данного будет тогда равна

если применить результат для белого шума к каждой полоске. Наибольшая скорость передачи определяется максимизацией С, при условии (31). Это значит, что требуется максимизировать

Условие максимума можно получить, используя вариационное исчисление или просто, основываясь на вогнутости кривой получаем

должна быть постоянным. Постоянная подбирается так, чтобы полная мощность сигнала равнялась Р. На частотах, на которых мощность шума мала, мощность сигнала должна быть велика и наоборот, как и можно было ожидать.

Это проиллюстрировано на рис. 8, где кривая изображает спектр шума и три прямые соответствуют различным Р. Если Р мало, невозможно сделать постоянным, так как это потребует на некоторых частотах отрицательных мощностей. Легко показать, однако, что в этом случае наилучшее получается,

если сделать постоянным везде, где это возможно, а на остальных частотах взять равным нулю. При малых Р некоторые частоты окажутся вообще неиспользованными.

Если теперь изменять спектр шума поддерживая полную мощность шума неизменной и всякий раз подгоняя спектр сигнала так, чтобы получить наилучшие условия передачи, то можно найти наихудший спектр шума.

Рис. 8. Наилучшее распределение мощности передатчика.

Это оказывается белый шум. Хотя это показывает лишь, что белый шум — наихудший среди гауссовых шумов, ниже будет показано, что он является наихудшим среди всех возможных шумов с данной мощностью в полосе.