12. Характер области, выделяемой внешней границей

Теперь используем свойство выпуклости, чтобы установить некоторые факты относительно множества Г точек которые могут быть получены при всевозможных распределениях для данного канала К и выпуклая оболочка которых есть Докажем, что множество Г в действительности уже само выпукло и поэтому совпадает с и что оно состоит из всех внутренних и граничных точек области, типичная форма которой изображена на рис. 10; она ограничена горизонтальным отрезком выпуклым отрезком

кривой вертикальным отрезком и двумя отрезками координатных осей. Таким образом, имеет структуру, аналогичную

Пусть некоторое распределение дает точку -Здесь как было показано ранее, есть среднее всевозможных скоростей которые могут быть получены при различных фиксированных значениях используемых с вероятностью 1, и при задании условного распределения на буквах При осреднении весами служат множители Отсюда следует, что при некотором фиксированном можно получить величину по крайней мере не меньшую, чем наше среднее взвешенное.

Рис. 11.

Рис. 12.

Если это фиксированное значение обозначить то распределение дает значение по крайней мере не меньшее первоначального, и в то же время дает значение Этим методом можно получить на рис. 11 точку, принадлежащую области Г, которая совпадает с проекцией данной точки или лежит правее ее, как это изображено на рисунке (точка

Рассмотрим теперь смеси указанных выше двух распределений вероятностей, т. е. распределение вида Здесь к непрерывно изменяется от 0 до 1. Так как являются непрерывными функциями от распределения вероятностей, то таким образом получаем непрерывную кривую С, идущую от данной точки к точке Кроме того, эта кривая целиком лежит правее и выше соответствующего отрезка прямой, соединяющего эти две точки. Это следует из свойства выпуклости выражений Аналогичным путем построим изображенную на рисунке кривую С, состоящую из точек, принадлежащих Г и находящихся на горизонтальном отрезке прямой, проходящем через данную точку или выше его.

Для каждой из точек кривых С и С рассмотрим смеси соответствующих распределений вероятностей с распределением (вероятность всех остальных пар равна 0). Это последнее распределение дает точку (0,0). Будем постепенно менять от 0 до 1 вес при распределении, сосредоточенном в (0,0). Тогда кривая, состоящая из полученных при осреднении точек, будет непрерывно изменяться, начиная от точки на кривой и кончая точкой (0,0).

Концевые точки получающихся кривых при этой операции остаются на отрезках координатных осей. Следовательно, опираясь на известные топологические результаты, можно утверждать, что получающиеся кривые полностью заполняют область, ограниченную С, С и координатными осями и, в частности, покрывают прямоугольник со сторонами, параллельными осям, и с вершиной в исходной точке

Покажем теперь, что множество точек Г есть выпуклое множество. Предположим, что изображенные на рис. 12 точки есть две точки, которые получаются при распределениях

Составляя в различных пропорциях их смеси, получим непрерывную кривую С, соединяющую эти точки и проходящую по свойству выпуклости выше и правее отрезка соединяющей их прямой. Так как все точки полученной кривой принадлежат множеству Г, то и все порождаемые ими прямоугольники, как показано выше, также принадлежат множеству Г. Отсюда следует, что все точки отрезка, соединяющего исходные точки, также принадлежат множеству Г. Заметим, что если лежат в первом и третьем квадрантах по отношению друг к другу, то этот результат тривиален, тогда отрезок, соединяющий их, лежит внутри прямоугольника, порожденного одной из этих точек.

Изложенного достаточно для того, чтобы из него следовали утверждения, сформулированные в начале этого раздела, а именно, что множество Г выпукло, совпадает с и если взять наибольшее достижимое и затем для этого — наибольшее достижимое то все точки прямоугольника, порожденного точкой являются достижимыми. Аналогичный факт справедлив и для наибольшего достижимого

Напомним здесь, что множество точек, достижимых при независимых распределениях не обязательно является выпуклым множеством. Это показывает пример табл. 1.

Из материала этого раздела следует также, что концевые точки кривых, задающих внутреннюю и внешнюю границы (т. е. точки, в которых они пересекают координатные оси), совпадают. Это следует из того, что, как было показано, наибольшее значение может быть получено с использованием только одного фиксированного значения с вероятностью 1, а тогда сводится к произведению независимых вероятностей.