9. Обсуждение основных предположений

Результат в прикладной математике надежен постольку, поскольку надежны предположения, из которых он выведен. Развитая выше теория особенно часто приводит к попыткам ее неудачных применений, так как трудно решить, являются ли в данном частном случае основные предположения удовлетворительным описанием физической ситуации. Тот, кто использует эту теорию, должен тщательно проанализировать каждое из трех предположений как в теории сглаживания, так и в теории предсказания.

Предположение, что сигнал и шум являются стационарными, вероятно, наиболее безобидное из всех трех, так как из общего характера задачи очевидно место, когда это предположение нарушается. При определении требуемого спектра мощности часто обнаруживаются какие-либо временные вариации статистической структуры временных рядов. Если эти вариации медленны по сравнению с другими временными постоянными, такие нестационарные вопросы все же могут решаться квазистационарными методами. Может быть спроектирован линейный предсказатель, характеристика которого медленно изменяется так, что она остается оптимальной для «локальной» статистики.

Понятие среднеквадратичного критерия более сложно, так как здесь включаются не только качественные, но и количественные вопросы. При минимизации среднеквадратичной ошибки в действительности внимание уделяется очень большим ошибкам. В целом предсказание выбирается так, чтобы сделать эти ошибки столь малыми, сколь возможно без особой заботы об относительно малых ошибках. Однако во многих случаях важно делать по возможности чаще очень точные предсказания, даже если за счет этого будут возникать отдельные большие ошибки. Когда распределение будущих событий гауссовское, безразлично, какой критерий применяется, так как наиболее вероятное событие совпадает с тем, для которого среднеквадратичная ошибка наименьшая. Однако при асимметричном или многовершинном распределении вопрос приобретает актуальность.

Как пример, рассмотрим предсказание погоды: будет ли завтра ясный день? Так как ясных дней большинство и не существует дней с отрицательными осадками, дополняющими дождливые дни, здесь распределение асимметрично. Для такого распределения средняя точка, получаемая в результате предсказания,

минимизирующего среднеквадратичную ошибку, может быть представлена как день с небольшим дождиком. Однако для человека, собирающегося на пикник, такое предсказание не будет иметь цены. Его интересует вероятность действительно ясного дня. Если пикник должен быть отменен из-за любого дождя, то количество осадков имеет относительно малое значение.

В качестве второго примера рассмотрим задачу перехвата автомобиля с преступниками, пытающимися спастись бегством по сети дорог. Если сразу впереди на дороге встречается развилка, ясно, что преследователь должен расположиться либо на одной ветви, либо на другой, делая этот выбор, если он необходим, случайным образом. Среднеквадратичная ошибка перехвата будет, однако, минимальной, если он расположится в поле за развилкой. Такие же проблемы могут возникнуть в артиллерии, когда обычно интересуются числом действительных попаданий независимо от числа промахов.

Третье предположение — условие линейности нельзя назвать ни качественным, ни количественным. Это скорее добровольное ограничение типа операций или устройств, применяемых для предсказания. Математические основания этого предположения ясны: линейные проблемы всегда более просты, чем их нелинейные обобщения. В некоторых применениях предположение линейности может быть обосновано одним из следующих соображений.

1. Линейный предсказатель может быть абсолютно оптимальным в упомянутом случае предсказания гауссовских временных рядов.

2. Линейное предсказание может диктоваться требованиями простоты реализации. Линейные фильтры легко синтезировать, и существует развитая теория их построения, чего нельзя сказать о нелинейных фильтрах.

3. Можно применить линейную теорию просто из-за отсутствия другой теории. Неполное решение лучше, чем отсутствие решения вообще.

Что теряется при ограничении линейным предсказанием? То, что нелинейные эффекты могут быть значительными при предсказании, можно проиллюстрировать, вернувшись к примеру предсказания завтрашней погоды. Известно, что для определения будущего, важнее цепь событий на протяжении некоторого времени, чем отдельно взятые случаи. Например, при прохождении холодного или теплого фронта характерной является определенная последовательность явлений. Более того, значение данного события может зависеть в значительной степени от интенсивности, с которой оно происходит. Так, резкое падение барометра означает, что наступает довольно неприятная погода. Вдвое большее падение за то же время, с другой стороны, не означает просто, что погода станет вдвое более неприятной, оно может предсказывать ураган.

В заключение отметим, что требования, чтобы предсказание было линейным и в то же время минимизировало средне-квадратич-ную ошибку, не всегда совместимы. Абсолютно наилучшее среднеквадратичное предсказание (игнорируя предположение о линейности), конечно, всегда укажет среднее будущего распределения, т. е. «центр тяжести», так как в любом случае это минимизирует среднеквадратичную ошибку. В общем случае, однако, положение этого центра тяжести будет нелинейной функцией прошлых событий. Когда требуется, чтобы предсказание было линейной операцией над прошлыми событиями, математик вынужден идти на компромисс между противоречивыми требованиями этих прошлых событий. Компромисс равнозначен по существу усреднению по всем фазовым значениям различных составляющих сигнала; любая уместная информация, имеющаяся в фазовых значениях, не может быть использована.

Рис. 11. Некоторые диаграммы рассеяния с линиями и кривыми регрессии.

Это может быть показано на примере известной статистической задачи о вычислении линии или плоскости регрессии для обеспечения линейной оценки переменной у по ряду известных переменных, коррелированных с у методом наименьших квадратов. Самый простой случай тот, когда есть только одна переменная х и одна неизвестная у, оцениваемая по х. На рис. 11 приведены три «диаграммы рассеяния», используемые в статистике. Переменной х может быть, например, вес человека, а у — его рост. Большое количество значений нанесено на рис. 11. Желательно оценить или предсказать рост человека, зная только его вес. Если условиться использовать только линейные операции, у должен вычисляться по формуле Наилучшим выбором а для минимально-квадратичного

предсказания является и соответствующая прямая линия известна как линия регрессии. Случай нормального распределения соответствует шуму гауссовского типа, в котором линейное предсказание является абсолютно оптимальным.

Рис. 11 б и 11, в представляют собой диаграммы рассеяния для других распределений двух переменных. Линии регрессии теперь не являются таким хорошим предсказанием для у, как на рис. 11, а. Условие, чтобы предсказываемая величина была линейной функцией известных данных, требует компромисса, который может быть очень серьезным. Очевидно из рис. 116 и 11, в, что значительно лучшая оценка для у может быть получена, если допустить нелинейные операции над х. В частности, функции — более подходящие.

Для предсказания у по двум известным переменным можно построить диаграмму рассеяния в трех измерениях. Линейное предсказание требует проведения плоскости регрессии через систему точек. Если имеется известных величин то необходимо пространство измерений и линейная теория соответствует нахождению гиперплоскости измерений.

Проблема сглаживания и предсказания для временных последовательностей аналогична. Однако при этом мы имеем дело с функциональным пространством, определенным всеми значениями при Оптимальное линейное предсказание соответствует гиперплоскости в этом функциональном пространстве.