9. Жесткая нижняя граница

В этом разделе будет найдена нижняя граница для имеющая место при всех Для этого определим сначала нижнюю границу для а по ней найдем нижнюю границу для Метод ее нахождения очень сходен с методом, примененным для отыскания верхней границы.

В работе Девида и Крускала нахождение приведенного выше интеграла (35) сводится к вычислению следующего интеграла [выражение (2.5) указанной работы]:

Здесь использовалось неравенство

а также то обстоятельство, что Последнее следует из соотношения (2.3) указанной работы, деленного на

Используя эту нижнюю границу, получим из выражения (34)

Замечая, что и что Г

и используя неравенство

получим

Это и есть нижняя граница

Чтобы получить нижнюю границу можно использовать тот же самый прием, что и выше. Здесь, однако, коэффициенты заменяются их минимальными значениями в рассматриваемой области, а экспонента — значением

Аналогично значение ограничивается сверху величиной — единицей. Таким образом, получаем

Интегрируя и замечая, что член с подстановкой предела может быть включен в , приходим к выражению нижней границы: