Реализация функций

Будем говорить, что функция одного переменного может быть реализована, если существует устройство, использующее только интеграторы и сумматоры и такое, что один вал может независимо вращаться как х, а другой вал вынужден вращаться как у. Из теоремы 1 следует, что если может быть реализована, то должна существовать такая система уравнений , что если то (скажем) равняется Функция от переменных может быть реализована, если существует такое устройство, что валов могут вращаться независимо, и еще один вал вращается как

Функции одного переменного классифицируются следующим образом. Если выполнено соотношение вида

где — целое положительное число и — действительные константы, то у называется многочленом от х или целой рациональной функцией от х. Если

где — многочлены от х, то у называется рациональной функцией от х. Если

где рациональные функции от х, то у называется алгебраической функцией от х. Если не имеет места ни одно из соотношений такого вида, то у называется трансцендентной функцией от х. Трансцендентные функции могут быть разделены на два класса. Если удовлетворяется дифференциальное уравнение

где — константы и степени — целые (т. e. если некоторый многочлен от тождественно равен нулю), то у называется алгебраической трансцендентной функцией от Если не существует ни одно из соотношений такого вида, то функция называется гипертрансцендентной, или трансцендентно-трансцендентной.

Очевидно, все алгебраические функции не являются гипер-трансцендентными, так как посредством умножения (7) на все знаменатели и последующего дифференцирования получается выражение вида (8). В действительности лишь немногие из обычно встречающихся аналитических функций гипертрансцендентны; из них наиболее известны гамма-функция и дзета-функция Римана

Гипертрансцендентность первой функции была доказана Гольденом, а второй — Гильбертом. В табл. 1 приведена классификация некоторых из обычно встречающихся функций.

Таблица 1 (см. скан) Функции от одного переменного

Теорема 2. Функция от одного переменного может быть реализована тогда и только тогда, когда она не является гипертрансцендентной.

Доказательство. Покажем сначала, что если функция может быть реализована, то она не гипертрансцендентная. Любая функция которая может быть реализована, должна удовлетворять системе уравнений вида (1) при

Дифференцируя систему раз, получаем в итоге уравнений, из которых можно исключить переменных

с помощью, например, метода Сильвестра, требующего только умножения и сложения и поэтому дающего в результате соотношение вида (8) при

Для доказательства того, что любая негипертрансцендентная функция может быть реализована, покажем, что соотношение (8) может быть записано в виде (1). Пусть левая часть уравнения (8) равна Ф. Дифференцируя обе части уравнения (8) по х, получаем

Всюду, за исключением точек, в которых имеем

где — многочлены от Пусть получаем

при дополнительном условии

Теперь задача состоит в том, чтобы свести это соотношение к виду системы уравнений (1). Сначала рассмотрим функцию Она является суммой произведений переменных (так как степени целые, то они могут рассматриваться как произведения повторяющихся множителей). Пусть первый член числителя равен где это некоторые из переменных

так что Далее пусть

Следовательно, Продолжая таким образом, получаем, наконец,

Точно так же поступаем с каждым членом числителя и знаменателя, продолжая ряд уравнений до тех пор, пока каждому произведению из не будет поставлено в соответствие некоторое переменное у. Обозначим переменные у, соответствующие членам через а соответствующие членам — через Тогда уравнение (9) сводится к условию

Заключительный шаг доказательства состоит в сведении этой системы к виду (1). Предположим, что последнее переменных у, т. е. есть Пусть

Следовательно, Далее, положив

получаем Тем самым уравнение (8) сведено к виду (1).

Теорема 3. Если функция одного переменного может быть реализована, то могут быть реализованы ее производная ее интеграл и обратная ей функция

Для доказательства первой части возьмем производную от (8). В результате получаем два уравнения, из которых можно исключить у посредством преобразований, включающих только умножение и сложение. Результатом является соотношение вйда (8) без членов, содержащих у. Заменяя у на на и т. д., убеждаемся

что функция не является гипертрансцендентной, если у не гипертрансдендентная.

Для доказательства второй части просто заменим в соотношении (8) у на на и т. д. Таким образом, получаем другое соотношение того же вида. Следовательно, если функция у не гипертрансцендентная, то и функция не гипертрансцендентная.

Для доказательства третьей части заменим у на Их (где на Так как все производные от функции у могут быть выражены как отношения многочленов от производных от х, то получающееся в результате выражение может быть приведено посредством умножения на все знаменатели к виду (8) с взаимной заменой х и у. Это означает, что функция, обратная негипертрансцендентной, также не гипертрансцендентная.

Теорема 4. Если могут быть реализованы функции то может быть реализована и их суперпозиция

Доказательство. Утверждение теоремы будет доказано таким образом: две системы уравнений, каждая из которых имеет вид (1), будут записаны как единая система того же вида, включающая большее число уравнений. Предположим, что функция удовлетворяет системе данного типа при причем пробегает значения от 2 до Функция также удовлетворяет системе этого типа. Так как аргументом функции является то заменим в этой системе на Если индексы при у в системе для пробегают значения от до (причем — число уравнений в системе для то получим систему уравнений вида (1) при

Хотя, как вытекает из теоремы 2, могут быть точно реализованы лишь функции, не являющиеся гипертрансцендентными, можно аппроксимировать значительно более широкий класс функций, используя только интеграторы.

Теорема 5. Любая функция непрерывная в замкнутом интервале , может быть реализована в этом интервале с точностью до заданного значения допустимой ошибки с применением только конечного числа интеграторов. Это означает, что может быть найдено устройство, реализующее такую функцию , что

при

Доказательство. Наше доказательство основывается на знаменитой теореме Вейерштрасса, которая утверждает, что

любую функцию такого типа можно аппроксимировать многочленом степени

при достаточно большом значении

Пусть теперь

Эта система, имеющая вид (1), удовлетворяет соотношению (10), если положить Кроме того, для устройства, реализующего решение, требуются только интеграторы, причем аддитивные константы определяются просто их начальными установками. Следовательно, теорема Еерна.

Если допустить останов машины и вращение валов вручную, то можно очевидным образом расширить условия теоремы 5 на все функции, непрерывные всюду, кроме конечного числа точек конечного разрыва.

Теперь перейдем к обобщению некоторых из этих понятий и теорем на случай функций, зависящих более чем от одного переменного.

Теорема 6. Функция от переменных может быть реализована тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в полных дифференциалах вида

где и все — действительные константы.

Доказательство необходимости и достаточности проводится в точности по тому же плану, который был применен при доказательстве теоремы 1. Было показано, что решение уравнений (1) является не гипертрансцендентной функцией от одного переменного. Теперь (11) может рассматриваться как обобщение (1). Будем говорить, что функция от переменных, удовлетворяющая системе уравнений (11), является не гипертрансцендентной функцией от этих переменных. При этом определении получаем в качестве обобщения теоремы 2 утверждение, что функция от переменных может быть реализована тогда и только тогда, когда она не является гипертрансцендентной функцией от этих переменных. Очевидно, что для того, чтобы функция от переменных не была гипертрансцендентной, необходимо, чтобы она не была гипертрансцендентной для каждого отдельного переменного, когда все остальные пере менные заменены произвольными константами.

Таким образом, является гипертрансдендентной функцией от х и у, так как замена х на 0 дает гипертрансцендентную функцию от одного переменного Примерами негипертрансцендентных функций более чем от одного переменного являются а также суперпозиции этих функций и негипертрансцендентных функций от одного переменного.

Обобщением теоремы 4 является следующее утверждение.

Теорема 7. Если две функции от нескольких переменных могут быть реализованы, то можно также реализовать любую суперпозицию этих функций, например

Это утверждение может быть доказано тем же методом, что и теорема 4, т. е. путем объединения двух систем уравнений в одну систему типа (11), содержащую большее число уравнений. Теорема 5 может быть обобщена на случай функций более чем от одного переменного, но при этом уже недостаточно одних интеграторов.

Теорема 8. Если задана любая функция от переменных, непрерывная по всем аргументам в замкнутой области n-мерного пространства то можно реализовать с применением только конечного числа интеграторов и сумматоров такую функцию что в области

где — заданное сколь угодно малое положительное число.

Доказательство. В силу обобщения теоремы Вейерштрасса функцию можно описанным способом аппроксимировать многочленом от переменных Так как, согласно нашему определению, многочлен не является гипертрансцендентной функцией, то он может быть реализован при помощи интеграторов и сумматоров. Следовательно, теорема доказана.

Первая часть теоремы 3 может быть обобщена на функции более чем от одного переменного следующим образом.

Теорема 9. Если функция от переменных может быть реализована, то может быть реализована и ее частная производная по любому переменному, например по

Доказательство. Из теоремы 6 следует, что если функция может быть реализована, то она удовлетворяет системе уравнений вида

где независимые переменные, зависимые переменные, линейные формы от этих переменных и, скажем, равняется Разделив эти уравнения на и положив получаем

или

Значение по правилу Крамера равно

— многочлены от данных переменных.

Это уравнение может быть сведено к виду системы уравнений (11) в точности тем же самым методом, который был использован при сведении уравнения (9), которое имело такой же вид.

Последняя часть теоремы 3 также может быть обобщена следующим образом.

Теорема 10. Если может быть реализована функция от переменных, то может быть реализована и функция, обратная данной относительно любого одного переменного, например,

Доказательство. Взяв полный дифференциал от у, получаем

Следовательно,

т. е.

Так как функция может быть реализована, то в силу предыдущей теоремы могут быть реализованы члены Обратные дроби и частные не являются гипертрансцендентными функциями, а, следовательно, члены могут быть реализованы. Отсюда следует, что величина может быть получена посредством реализации этих подинтегральных выражений, интегрирования их по соответствующим переменным и сложения результатов.